미적분 예제

$y = \arcsin (\arccos (t))$

단계 1

$f (t) = \arcsin (t)$ , $g (t) = \arccos (t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\arccos (t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

단계 1.2

$\arcsin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\arccos (t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} \frac{d}{d t} [\arccos (t)]$

단계 2

$\arccos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}})$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}}}$ 에 $\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {\arccos (t)}^{2}} \sqrt{1 - t^{2}}}$

단계 3.2

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

단계 3.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{\sqrt{(1^{2} - {\arccos (t)}^{2}) (1 - t^{2})}}$

단계 4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \arccos (t)$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 - t^{2})}}$

단계 5

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1^{2} - t^{2})}}$

단계 6

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = t$ 입니다.

$- \frac{1}{\sqrt{(1 + \arccos (t)) (1 - \arccos (t)) (1 + t) (1 - t)}}$