미적분 예제

$x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $g (x) = x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.2

$n = \frac{2}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + 3$ 로 바꿉니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 6.2

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 7.2

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 7.4

$\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 와 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 10

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 11.2

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 12

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 13

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 14

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 16

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 16.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 18

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 19

${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 20

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 21

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 22

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 23

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 23.1

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 에 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 23.2

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 에 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 23.3

$3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 25

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 $x^{\frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 25.1

$x^{\frac{2}{3}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 25.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 25.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 25.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 25.5

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x^{1} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 26

$2 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 27

지수를 더하여 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 에 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 27.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 27.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 27.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 27.4

$3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x + {(x + 3)}^{1}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 28

${(x + 3)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 29

$2 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 30

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 31

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 32

$3 (x) + 3 (1)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

단계 33

공약수로 약분합니다.

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단계 33.1

$3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

단계 33.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

단계 33.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$