미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

단계 1.2

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

단계 1.3

$\ln (x^{3})$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 6$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

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단계 1.3.1

상수 배수 $- 6$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

단계 1.3.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.3.3

$\ln (x^{3})$ 함수가 $\infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 6$ 배 함수는 $- \infty$ 에 근접합니다.

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.3.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{- \infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{- \infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 x + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.4.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.5

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.6

$2 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

단계 3.7

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 \ln (x^{3})$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

단계 3.8

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

단계 3.8.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

단계 3.8.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

단계 3.9

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $- 6$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

단계 3.11

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

단계 3.12

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

단계 3.13

$- 3$ 와 $\frac{6}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

단계 3.14

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

단계 3.15

$\frac{- 18}{x^{3}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

단계 3.16

$x^{2}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.1

$- 18 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

단계 3.16.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

단계 3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

단계 3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

단계 3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

단계 5

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

단계 6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

단계 6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

단계 7

$- 2 x$ 와 $\frac{x}{18}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

단계 8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

단계 9

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

단계 10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

단계 11

분수를 통분합니다.

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단계 11.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

단계 11.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

단계 11.3

$- 3$ 와 $\frac{x}{18}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

단계 12

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\infty$