미적분 예제

$y^{2} x - x^{2} y = y - 2 x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2} x - x^{2} y) = \frac{d}{d x} (y - 2 x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} x - x^{2} y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2} x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{2} x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (x) = y^{2}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$y^{2} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} \cdot 1 + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$y^{2} \cdot 1 + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} \cdot 1 + x (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.5

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + x (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.2.6

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} + 2 x y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2} y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 입니다.

$y^{2} + 2 x y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y' + y (2 x))$

단계 2.3.5

$y$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y' + 2 y x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y^{2} + 2 x y y' - (x^{2} y') - (2 y x)$

단계 2.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 y x$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $y - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$y' - 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y' - 2 \cdot 1$

단계 3.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' - 2$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y = y' - 2$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $y'$ 를 뺍니다.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y - y' = - 2$

단계 5.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$2 x y y' - x^{2} y' - 2 x y - y' = - 2 - y^{2}$

단계 5.2.2

방정식의 양변에 $2 x y$ 를 더합니다.

$2 x y y' - x^{2} y' - y' = - 2 - y^{2} + 2 x y$

단계 5.3

$2 x y y' - x^{2} y' - y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$2 x y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y) - x^{2} y' - y' = - 2 - y^{2} + 2 x y$

단계 5.3.2

$- x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y) + y' (- x^{2}) - y' = - 2 - y^{2} + 2 x y$

단계 5.3.3

$- y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y) + y' (- x^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 - y^{2} + 2 x y$

단계 5.3.4

$y' (2 x y) + y' (- x^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y - x^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 - y^{2} + 2 x y$

단계 5.3.5

$y' (2 x y - x^{2}) + y' \cdot - 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (2 x y - x^{2} - 1) = - 2 - y^{2} + 2 x y$

단계 5.4

$y' (2 x y - x^{2} - 1) = - 2 - y^{2} + 2 x y$ 의 각 항을 $2 x y - x^{2} - 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$y' (2 x y - x^{2} - 1) = - 2 - y^{2} + 2 x y$ 의 각 항을 $2 x y - x^{2} - 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (2 x y - x^{2} - 1)}{2 x y - x^{2} - 1} = \frac{- 2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.2.1

$2 x y - x^{2} - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (2 x y - x^{2} - 1)}{2 x y - x^{2} - 1} = \frac{- 2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{- y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2}{2 x y - x^{2} - 1} - \frac{y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 - y^{2}}{2 x y - x^{2} - 1} + \frac{2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 2 - y^{2} + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.3

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (2) - y^{2} + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.4

$- y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2) - (y^{2}) + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.5

$- 1 (2) - (y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + y^{2}) + 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.6

$2 x y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + y^{2}) - (- 2 x y)}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.7

$- 1 (2 + y^{2}) - (- 2 x y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- 1 (2 + y^{2} - 2 x y)}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 5.4.3.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 + y^{2} - 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 + y^{2} - 2 x y}{2 x y - x^{2} - 1}$