미적분 예제

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

단계 1

$t$ 이 $- \infty$ 에 가까워짐에 따라 적분을 극한값으로 씁니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 - 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.1.2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 4 \cdot 1$

단계 2.1.3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 4$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- 4$

단계 2.2

$u = 3 - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

단계 2.3

$u = 3 - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 3 + 0$

단계 2.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 3$

단계 2.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

단계 2.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

단계 3.2

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

단계 3.3

$u$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

단계 6

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

단계 7

$\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

단계 8

$3$ , $3 - 4 t$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

단계 9

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

단계 10

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ 함수가 $- \infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $\infty$ 에 근접합니다.

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단계 10.1

상수 배수 $- 1$ 이(가) 제거된 극한을 고려해야 합니다.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

단계 10.2

$t$ 가 $- \infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

단계 10.3

$t$ 이(가) 양쪽에서 $- \infty$ 에 접근함에 따라 $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ 이(가) 무한히 감소합니다.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

단계 10.4

$t$ 가 $- \infty$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{- \infty}{4}$

단계 10.5

무한대를 유한하고 0이 아닌 모든 값으로 나누면 무한대입니다.

$- \infty$

단계 10.6

$\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ 함수가 $- \infty$ 에 접근하므로, 음수 상수 $- 1$ 배 함수는 $\infty$ 에 근접합니다.

$\infty$