미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (5 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

단계 1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}$

단계 1.3

$x$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.4

$5$ 와 $\frac{1}{5 x}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.5

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.5.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.7

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}$

단계 3.8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x}$ 을(를) ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 3.9

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

단계 3.10

$5 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

단계 3.11

$5^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

단계 3.12

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

단계 3.13

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

단계 3.14

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

단계 3.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

단계 3.16

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.16.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

단계 3.16.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

단계 3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

단계 3.18

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

단계 3.19

$5^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

단계 3.20

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

분수 지수를 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{5^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

$5^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

단계 6

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{5}}$

단계 7

소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{5}}$

단계 7.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

단계 7.3

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x \sqrt{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x (\sqrt{5})}$

단계 7.3.2

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{5}}$

단계 7.3.3

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{5}}$

단계 7.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{5} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 8

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{\sqrt{5}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 9

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 0$

단계 10

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \cdot 0$

단계 10.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$\frac{2}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} \cdot 0$

단계 10.2.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} \cdot 0$

단계 10.2.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} \cdot 0$

단계 10.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} \cdot 0$

단계 10.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} \cdot 0$

단계 10.2.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

단계 10.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

단계 10.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

단계 10.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

단계 10.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}} \cdot 0$

단계 10.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \cdot 0$

단계 10.3

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$