미적분 예제

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

단계 1

$- 4$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

단계 2

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

단계 3

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

단계 4

$- 1$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

단계 5

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

단계 6

$x$ 가 $\frac{π}{3}$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

단계 7

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

단계 8

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

단계 9

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

단계 10

$x$ 가 있는 모든 곳에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 10.1

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

단계 10.2

$x$ 에 $\frac{π}{3}$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

단계 11

답을 간단히 합니다.

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단계 11.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

단계 11.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

단계 11.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

단계 11.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$- 2$ 와 $\frac{π}{3}$ 을 묶습니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

단계 11.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

단계 11.2.3

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

단계 11.2.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

단계 11.2.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

단계 11.2.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.6.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

단계 11.2.6.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

단계 11.2.6.3

공약수로 약분합니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

단계 11.2.6.4

수식을 다시 씁니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

단계 11.2.7

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

단계 11.2.8

$\sqrt{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

단계 11.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

단계 11.4

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ 에 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

단계 11.5

$\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ 에 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

단계 11.6

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

단계 11.7

간단히 합니다.

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

단계 11.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ 을 곱합니다.

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단계 11.8.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

단계 11.8.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

단계 11.9

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.9.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

단계 11.9.2

$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

단계 11.9.3

공약수로 약분합니다.

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

단계 11.9.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

소수 형태:

$- 0.42264973 \dots$