미적분 예제

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

단계 1

$f (θ) = θ^{2}$ , $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cot (\sin (θ))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cot (\sin (θ))$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

단계 2

$f (θ) = \cot (θ)$ , $g (θ) = \sin (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (θ)$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

단계 2.2

$\cot (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (u_{2})$ 입니다.

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (θ)$ 로 바꿉니다.

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

단계 3

$\sin (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\cos (θ)$ 입니다.

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ))$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

단계 4.2

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

단계 4.3

$\csc (\sin (θ))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

단계 4.4

$\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

단계 4.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

단계 4.6

$- 2$ 와 $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

단계 4.8

$\cos (θ)$ 와 $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

단계 4.9

$\cos (θ)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

단계 4.10

$\cot (\sin (θ))$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

단계 4.11

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ 을 곱합니다.

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단계 4.11.1

$\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ 에 $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

단계 4.11.2

지수를 더하여 $\sin (\sin (θ))$ 에 $\sin^{2} (\sin (θ))$ 을 곱합니다.

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단계 4.11.2.1

$\sin (\sin (θ))$ 에 $\sin^{2} (\sin (θ))$ 을 곱합니다.

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단계 4.11.2.1.1

$\sin (\sin (θ))$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

단계 4.11.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

단계 4.11.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

단계 4.12

$\cos (\sin (θ))$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

단계 4.13

$\sin^{3} (\sin (θ))$ 에서 $\sin (\sin (θ))$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

단계 4.14

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

단계 4.15

$\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ 을 $\cot (\sin (θ))$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

단계 4.16

$\sin^{2} (\sin (θ))$ 에서 $\sin (\sin (θ))$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

단계 4.17

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

단계 4.18

$\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.19

$\cos (θ)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.20

간단히 합니다.

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단계 4.20.1

$\cos (θ)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.20.2

$\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ 을 $\csc (\sin (θ))$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.21

분수를 나눕니다.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.22

$\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ 을 $\csc (\sin (θ))$ 로 변환합니다.

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.23

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.24

$2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ 을 곱합니다.

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단계 4.24.1

$\csc (\sin (θ))$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.24.2

$\csc (\sin (θ))$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.24.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.24.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

단계 4.25

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$