미적분 예제

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

단계 1

$f (x) = 5 x - 3$ , $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x - \frac{3}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ 가 됩니다.

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.5

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{x}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.6

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.8

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

단계 2.9

합의 법칙에 의해 $5 x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.10

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.12

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

단계 2.13

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

단계 2.14

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

단계 2.14.2

$4 x - \frac{3}{x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

단계 3.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

단계 3.3.2

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

단계 3.3.4

$- 5$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 묶습니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

단계 3.3.5

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

단계 3.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

단계 3.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

단계 3.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $20 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.3.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.3.12

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.3.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.3.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.2

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

단계 3.5.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.3

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.4

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.6

$5 \frac{3}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.6.1

$5$ 와 $\frac{3}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.6.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.7

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

단계 3.5.5.8

$\frac{3}{x} \cdot - 3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.5.8.1

$\frac{3}{x}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

단계 3.5.5.8.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

단계 3.5.5.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

단계 3.5.6

$20 x^{2}$ 를 $20 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

단계 3.5.7

$15$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

단계 3.5.8

$40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

단계 3.5.9

공통 분모를 가지는 분수로 $40 x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

단계 3.5.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.11

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.11.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.11.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.11.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.11.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.12

공통 분모를 가지는 분수로 $- 12 x$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.13

$- 12 x$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.15.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.15.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.15.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

단계 3.5.15.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

단계 3.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

단계 3.7

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

단계 3.7.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

단계 3.7.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

단계 3.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

단계 3.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$