미적분 예제

$y = x \sqrt{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1

$x$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

단계 1.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

단계 1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

단계 1.2.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

단계 1.3

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

단계 1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

단계 1.7.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

단계 1.8

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$\frac{3}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 2.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 2.8

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 2.9

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

단계 2.10

곱합니다.

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단계 2.10.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

단계 2.10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$