미적분 예제

$\int_{\sqrt{\frac{π}{2}}}^{\sqrt{π}} θ^{3} \cos (θ^{2}) d θ$

단계 1

먼저 $u = θ^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 θ d θ$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = θ d θ$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = θ^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d θ}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$θ^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d θ} [θ^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ 는 $n θ^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 θ$

단계 1.2

$u = θ^{2}$ 의 $θ$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = {\sqrt{\frac{π}{2}}}^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\sqrt{\frac{π}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}})}^{2}$

단계 1.3.2

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}$

단계 1.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}$

단계 1.3.3.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}$

단계 1.3.3.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}$

단계 1.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}$

단계 1.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}$

단계 1.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}$

단계 1.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}$

단계 1.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

단계 1.3.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}$

단계 1.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}$

단계 1.3.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2})}^{2}$

단계 1.3.4

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$u_{lower} = {(\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2})}^{2}$

단계 1.3.5

$\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$u_{lower} = \frac{{\sqrt{π \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

단계 1.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.3.6.1

${\sqrt{π \cdot 2}}^{2}$ 을 $π \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.3.6.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{π \cdot 2}$ 을(를) ${(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{{({(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

단계 1.3.6.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

단계 1.3.6.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

단계 1.3.6.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.6.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

단계 1.3.6.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{{(π \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

단계 1.3.6.1.5

간단히 합니다.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 2}{2^{2}}$

단계 1.3.6.2

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$u_{lower} = \frac{2 π}{2^{2}}$

단계 1.3.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{lower} = \frac{2 π}{4}$

단계 1.3.8

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.8.1

$2 π$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 (π)}{4}$

단계 1.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.8.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

단계 1.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

단계 1.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

단계 1.4

$u = θ^{2}$ 의 $θ$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = {\sqrt{π}}^{2}$

단계 1.5

${\sqrt{π}}^{2}$ 을 $π$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{π}$ 을(를) $π^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 1.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 1.5.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

단계 1.5.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = π^{\frac{2}{2}}$

단계 1.5.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π^{1}$

단계 1.5.5

간단히 합니다.

$u_{upper} = π$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u}{2} \cos (u) d u$

단계 2.2

$\frac{u}{2}$ 와 $\cos (u)$ 을 묶습니다.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{u \cos (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{2}}^{π} u \cos (u) d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = \cos (u)$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (u) d u)$

단계 5

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (u \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$π$ , $\frac{π}{2}$ 일 때, $u \sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}))$

단계 6.2

$π$ , $\frac{π}{2}$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((π \sin (π)) - \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 와 $\frac{π}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - ((- \cos (π)) + \cos (\frac{π}{2})))$

단계 6.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2})$

단계 6.3.3

$- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) - \frac{\sin (\frac{π}{2}) π}{2} + \frac{- (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

단계 6.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2})$

단계 6.3.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- \sin (\frac{π}{2}) π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))}{2})$

단계 7.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- 1 \cdot 1 π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

단계 7.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π) + 0)}{2})$

단계 7.4

$- \cos (π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π - 2 (- \cos (π))}{2})$

단계 7.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

단계 7.6

공통 분모를 가지는 분수로 $π \sin (π)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (π \sin (π) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

단계 7.7

$π \sin (π)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π \sin (π) \cdot 2}{2} + \frac{- π + 2 \cos (π)}{2})$

단계 7.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π \sin (π) \cdot 2 - π + 2 \cos (π)}{2}$

단계 7.9

$π \sin (π)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (π \sin (π)) - π + 2 \cos (π)}{2}$

단계 7.10

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{2 \cdot 2}$

단계 7.11

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 π \sin (π) - π + 2 \cos (π)}{4}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{2 π \sin (0) - π + 2 \cos (π)}{4}$

단계 8.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{2 π \cdot 0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

단계 8.3

$2 π \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0 π - π + 2 \cos (π)}{4}$

단계 8.3.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - π + 2 \cos (π)}{4}$

단계 8.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{0 - π + 2 (- \cos (0))}{4}$

단계 8.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0 - π + 2 (- 1 \cdot 1)}{4}$

단계 8.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - π + 2 \cdot - 1}{4}$

단계 8.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - π - 2}{4}$

단계 8.8

$0$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{- π - 2}{4}$

단계 8.9

$- π$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (π) - 2}{4}$

단계 8.10

$- 2$ 을 $- 1 (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (π) - 1 (2)}{4}$

단계 8.11

$- (π) - 1 (2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (π + 2)}{4}$

단계 8.12

$- (π + 2)$ 을 $- 1 (π + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (π + 2)}{4}$

단계 8.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{π + 2}{4}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{π + 2}{4}$

소수 형태:

$- 1.28539816 \dots$