미적분 예제

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

단계 1

밑변환 공식을 이용하여 $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ 을 다시 씁니다.

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단계 1.1

$a$ 와 $b$ 가 0보다 크고 1이 아니며 $x$ 가 0보다 크다면 밑변환 공식을 사용할 수 있습니다.

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

단계 1.2

$b = e$ 을 이용하여 밑변환 공식에 변수 값을 대입합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

단계 2

$\frac{1}{\ln (a)}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ 의 미분은 $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ 입니다.

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x^{3} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

단계 3.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $2 x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ 에 $\frac{1}{\ln (a)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 4.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 4.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

단계 4.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

단계 4.6

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

$6 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

단계 4.7.2

$6$ 와 $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

단계 4.7.3

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

단계 5.2

$2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ 에서 $\ln (a)$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$2 x^{3} \ln (a)$ 에서 $\ln (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

단계 5.2.2

$7 \ln (a)$ 에서 $\ln (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

단계 5.2.3

$\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ 에서 $\ln (a)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$