미적분 예제

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

미분합니다.

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단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y^{\frac{1}{3}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ 입니다.

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

단계 2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

단계 2.2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

단계 2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

단계 2.2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

단계 2.2.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

단계 2.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

단계 2.2.9

$\frac{1}{3}$ 와 $y^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

단계 2.2.10

$\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

단계 2.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $y^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.2.12

$3$ 와 $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.2.13

공약수로 약분합니다.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

단계 2.2.14

수식을 다시 씁니다.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

단계 5.2

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

단계 5.2.2

$- y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

단계 5.2.3

$y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

단계 5.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

단계 5.4

$y^{\frac{2}{3}}$ 을 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

단계 5.5

$\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

단계 5.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

단계 5.7

인수분해합니다.

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단계 5.7.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

단계 5.7.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

단계 5.8

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ 의 각 항을 $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ 의 각 항을 $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

단계 5.8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.8.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.8.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

단계 5.8.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

단계 5.8.2.4

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

단계 5.8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.8.3.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.8.3.1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

단계 5.8.3.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

단계 5.8.3.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

단계 5.8.3.1.4

$- 1$ 와 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 을 묶습니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

단계 5.8.3.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

단계 5.8.3.2

$\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 에 $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

단계 5.8.3.3

지수를 더하여 $y^{\frac{1}{3}}$ 에 $y^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 5.8.3.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

단계 5.8.3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

단계 5.8.3.3.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

단계 5.8.3.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$