미적분 예제

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 2 \cdot 2}{h}$

단계 1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{h}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(2 + h)}^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.3

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.4

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2 (2 + h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.5

$2$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 lim_{h \to 0} 2 + h - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.6

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.8

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 ${(2)}^{3}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.9

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $4$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.10

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.10.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(2 + 0)}^{3} + 2 (2 + lim_{h \to 0} h) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.10.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{{(2 + 0)}^{3} + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.1.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2^{3} + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.1.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{8 + 2 (2 + 0) - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.1.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 + 2 \cdot 2 - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 + 4 - {(2)}^{3} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.1.5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{8 + 4 - 1 \cdot 8 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.1.6

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{8 + 4 - 8 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.1.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8 + 4 - 8 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.2

$8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{12 - 8 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.3

$12$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.2.11.4

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

단계 2.1.3

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{0}$

단계 2.1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2.2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - {(2)}^{3} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - 1 \cdot 8 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.3

합의 법칙에 의해 ${(2 + h)}^{3} + 2 (2 + h) - 1 \cdot 8 - 4$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1

$f (h) = h^{3}$ , $g (h) = 2 + h$ 일 때 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 는 $f' (g (h)) g' (h)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.1.3

$u$ 를 모두 $2 + h$ 로 바꿉니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.2

합의 법칙에 의해 $2 + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.3

$2$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.4.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [2 (2 + h)] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5

$\frac{d}{d h} [2 (2 + h)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$2$ 은 $h$ 에 대해 일정하므로 $h$ 에 대한 $2 (2 + h)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d h} [2 + h]$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.2

합의 법칙에 의해 $2 + h$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ 가 됩니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.3

$2$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.5.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + \frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.6

$\frac{d}{d h} [- 1 \cdot 8]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.6.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + \frac{d}{d h} [- 8] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.6.2

$- 8$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.7

$- 4$ 이 $h$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $h$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.1.1

$3 {(2 + h)}^{2} + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.1.2

$3 {(2 + h)}^{2} + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(2 + h)}^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.1

${(2 + h)}^{2}$ 을 $(2 + h) (2 + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 ((2 + h) (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 + h) (2 + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 (2 + h) + h (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.3.1.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.3.1.2

$h$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.3.1.3

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 2 h + 2 h + h^{2}) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.3.2

$2 h$ 를 $2 h$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 (4 + 4 h + h^{2}) + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{3 \cdot 4 + 3 (4 h) + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.8.2.5.1

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 3 (4 h) + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.2.5.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{12 + 12 h + 3 h^{2} + 2}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.8.3

$12$ 를 $2$ 에 더합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{12 h + 3 h^{2} + 14}{\frac{d}{d h} [h]}$

단계 2.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 는 $n h^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{h \to 0} \frac{12 h + 3 h^{2} + 14}{1}$

단계 2.4

$12 h + 3 h^{2} + 14$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 12 h + 3 h^{2} + 14$

단계 3

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 12 h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

단계 3.2

$12$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$12 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

단계 3.3

$3$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 14$

단계 3.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 14$

단계 3.5

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $14$ 의 극한을 구합니다.

$12 lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 14$

단계 4

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$12 \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 14$

단계 4.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$12 \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 14$

단계 5

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$12$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 3 \cdot 0^{2} + 14$

단계 5.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 + 3 \cdot 0 + 14$

단계 5.1.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 14$

단계 5.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 14$

단계 5.3

$0$ 를 $14$ 에 더합니다.

$14$