미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)}$

단계 1

간단히 합니다.

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단계 1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x - 1) (2 x^{2} + x + 1)$ 를 전개합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

단계 1.2

$x (2 x^{2}) + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 1.2.1

인수가 항 $x \cdot 1$ 과(와) $- 1 x$ (으)로 표현되도록 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x + 1 x - 1 (2 x^{2}) - 1 x - 1 \cdot 1}$

단계 1.2.2

$1 x$ 에서 $1 x$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) + 0 - 1 \cdot 1}$

단계 1.2.3

$x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{x (2 x^{2}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 (x^{2} x^{1}) + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{2 + 1} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x \cdot x - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.3

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 1 (2 x^{2}) - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1 \cdot 1}$

단계 1.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} - 1}$

단계 1.4

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 - 2 x)}^{3}}{2 x^{3} - x^{2} - 1}$

단계 2

분모의 가장 높은 차수인 $x$ 로 분자와 분모를 나눕니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{\frac{2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 3

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 3.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 3.3

극한의 멱의 법칙을 이용하여 ${(\frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}$ 의 지수 $3$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 3.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{{(0 + lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 5.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x})}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{(0 - 2 lim_{x \to \infty} 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 5.3

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{3}}}$

단계 5.4

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

단계 5.5

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $2$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

단계 6

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

단계 7

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{x^{3}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{{(0 - 2 \cdot 1)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(0 - 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

단계 8.1.2

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{{(- 2)}^{3}}{2 - 0 - 0}$

단계 8.1.3

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{- 8}{2 - 0 - 0}$

단계 8.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8}{2 + 0 - 0}$

단계 8.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{- 8}{2 + 0 + 0}$

단계 8.2.3

$2 + 0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 8}{2 + 0}$

단계 8.2.4

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{- 8}{2}$

단계 8.3

$- 8$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$- 4$