미적분 예제

$y = \frac{v^{3} - 2 v \sqrt{v}}{v}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{v}$ 을(를) $v^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v \cdot v^{\frac{1}{2}}}{v}]$

단계 2

지수를 더하여 $v$ 에 $v^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$v^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v)}{v}]$

단계 2.2

$v^{\frac{1}{2}}$ 에 $v$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$v$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 (v^{\frac{1}{2}} v^{1})}{v}]$

단계 2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + 1}}{v}]$

단계 2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{v}]$

단계 2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{1 + 2}{2}}}{v}]$

단계 2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

단계 3

$v^{3} - 2 v^{\frac{3}{2}}$ 에서 $v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$v^{3}$ 에서 $v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} - 2 v^{\frac{3}{2}}}{v}]$

단계 3.2

$- 2 v^{\frac{3}{2}}$ 에서 $v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2}{v}]$

단계 3.3

$v^{\frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}} + v^{\frac{3}{2}} \cdot - 2$ 에서 $v^{\frac{3}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{d}{d v} [\frac{v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)}{v}]$

단계 4

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $v^{1}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2) v^{- 1}]$

단계 5

지수를 더하여 $v^{\frac{3}{2}}$ 에 $v^{- 1}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$v^{- 1}$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1} v^{\frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 5.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d v} [v^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 5.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 5.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{- 2 + 3}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 5.6.2

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}} (v^{\frac{3}{2}} - 2)]$

단계 6

$f (v) = v^{\frac{1}{2}}$ , $g (v) = v^{\frac{3}{2}} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ 는 $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}} - 2] + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 7

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

합의 법칙에 의해 $v^{\frac{3}{2}} - 2$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]$ 가 됩니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d v} [v^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 9

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 11.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} v^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 12

$\frac{3}{2}$ 와 $v^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d v} [- 2]) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 13

$- 2$ 이 $v$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$v^{\frac{1}{2}} (\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + 0) + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 14

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$v^{\frac{1}{2}} \frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 14.2

$v^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{3 v^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{v^{\frac{1}{2}} (3 v^{\frac{1}{2}})}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 15

지수를 더하여 $v^{\frac{1}{2}}$ 에 $v^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$v^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 15.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{v^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 15.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{v^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 15.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{v^{\frac{2}{2}} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 15.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{v^{1} \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 16

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$v^{1} \cdot 3$ 을 간단히 합니다.

$\frac{v \cdot 3}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 16.2

$v$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{d}{d v} [v^{\frac{1}{2}}]$

단계 17

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 18

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 19

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 21

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 21.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}})$

단계 22

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) (\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}})$

단계 23

$\frac{1}{2}$ 와 $v^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 24

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $v^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$

단계 25

공통 분모를 가지는 분수로 $(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 v}{2} + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2}$

단계 26

$(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 v}{2} + \frac{(v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

단계 27

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2}$

단계 28

$2$ 와 $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 29

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{2}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 30

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 v + (v^{\frac{3}{2}} - 2) \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 v + v^{\frac{3}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.2.1.1

$v^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.2.1.1.1

$v^{\frac{3}{2}}$ 에서 $v^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.1.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 v + v^{\frac{1}{2}} v^{\frac{2}{2}} \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.1.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 v + v^{\frac{2}{2}} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.1.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{3 v + v^{1} - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.1.3

간단히 합니다.

$\frac{3 v + v - 2 \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.1.4

$- 2$ 와 $\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 v + v + \frac{- 2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3 v + v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.2.2

$3 v$ 를 $v$ 에 더합니다.

$\frac{4 v - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.3.1

$4 v$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 v) - \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}}{2}$

단계 31.3.2

$- \frac{2}{v^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

단계 31.3.3

$2 (2 v) + 2 (- \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2}$

단계 31.3.4

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 31.3.4.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)}$

단계 31.3.4.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1}$

단계 31.3.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 31.3.4.4

$2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 v - \frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}$