미적분 예제

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

단계 1

$y = f (θ)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (θ))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 2

$\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ 을 $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.2

합의 법칙에 의해 $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ 가 됩니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$f (θ) = \ln (θ)$ , $g (θ) = \sec (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (θ)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (θ)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3.2

$\sec (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\sec (θ) \tan (θ)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3.3

$\sec (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3.4

$\frac{1}{\cos (θ)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.3.5

$\cos (θ)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

단계 3.2.4

$\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$f (θ) = \ln (θ)$ , $g (θ) = \tan (θ)$ 일 때 $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 는 $f' (g (θ)) g' (θ)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\tan (θ)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

단계 3.2.4.1.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

단계 3.2.4.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (θ)$ 로 바꿉니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

단계 3.2.4.2

$\tan (θ)$ 를 $θ$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (θ)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

단계 3.2.4.3

$\tan (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

단계 3.2.4.4

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

단계 3.2.4.5

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 을 $\cot (θ)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

단계 3.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

단계 3.2.5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.1.1

$\cos (θ)$ 와 $\sec (θ)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.1.2

$\cos (θ) \sec (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.1.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.2

$\tan (θ)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.3

$\tan (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.4

$\sec (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.5

$\frac{1}{\cos (θ)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

단계 3.2.5.2.7

$\cot (θ)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

단계 3.2.5.2.8

조합합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

단계 3.2.5.2.9

$\cos (θ)$ 및 $\cos^{2} (θ)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.9.1

$1 \cos (θ)$ 에서 $\cos (θ)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

단계 3.2.5.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.2.9.2.1

$\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ 에서 $\cos (θ)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

단계 3.2.5.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

단계 3.2.5.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

단계 3.2.5.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.5.3.1

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 을 $\tan (θ)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

단계 3.2.5.3.2

분수를 나눕니다.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

단계 3.2.5.3.3

$\frac{1}{\cos (θ)}$ 을 $\sec (θ)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

단계 3.2.5.3.4

$\frac{1}{\sin (θ)}$ 을 $\csc (θ)$ 로 변환합니다.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 5.2

$\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\tan (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 5.2.2

$\tan (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 5.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 5.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

단계 5.3

$\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\sec (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

단계 5.3.2

$\sec (θ)$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

단계 5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

단계 5.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$