미적분 예제

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

단계 1

$\frac{2}{5}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

단계 2

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 2.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

단계 2.1.2

$x$ 이(가) 근에 대해 $\infty$ 에 접근함에 따라 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

단계 2.1.3

최고차항이 양수인 다항식에 대한 무한대에서의 극한값은 무한대입니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

단계 2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 2.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5 x}$ 을(를) ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.3

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.4

$5 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.5

$5^{\frac{1}{2}}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.6

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.13

$5^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

단계 2.3.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

단계 2.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 2.5

분수 지수를 근호로 변환합니다.

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단계 2.5.1

$5^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 2.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

단계 2.6

$\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

단계 3

$\frac{\sqrt{5}}{2}$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

단계 4

분모가 무한대로 발산하는 반면 분자는 실수에 가까워지므로 분수 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 는 $0$ 에 가까워집니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

단계 5

답을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

단계 5.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

단계 5.2

$\frac{1}{5}$ 와 $\sqrt{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

단계 5.3

$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$