미적분 예제

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x) + \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x) + \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 를 전개합니다.

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단계 5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

단계 5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.2

$2 \sin (x) (- \sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.2.2

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.2.3

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.3

$2 \cos (x) \cos (x)$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.1.4

$2 \cos (x)$ 와 $- \sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

단계 5.3.1.5

괄호를 표시합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

단계 5.3.1.6

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

단계 5.3.1.7

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

단계 5.3.2

$\sin (2 x)$ 에서 $\sin (2 x)$ 을 뺍니다.

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

단계 5.3.3

$0$ 에서 $2 \sin^{2} (x)$ 을 뺍니다.

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$