미적분 예제

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

단계 1

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

함수가 $[1, 2]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{4 x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$4 x = 0$

단계 1.1.2

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4 x = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 1.1.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

단계 1.1.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{4}$

단계 1.1.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 1.1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 1.2

$f (x)$ 는 $[1, 2]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 2

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 가 미분 가능한지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.1.1.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.1.1.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

단계 2.1.1.3.4

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

단계 2.1.1.3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

단계 2.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ 입니다.

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

단계 2.2

도함수가 $[1, 2]$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

함수가 $[1, 2]$ 에서 연속인지 알아내기 위해 $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{4 x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$4 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

$4 x^{2} = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.1

$4 x^{2} = 0$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.1.2.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.1.2.1.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{0}{4}$

단계 2.2.1.2.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1.3.1

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.2.1.2.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.2.1.2.3

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.3.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.2.1.2.3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.2.1.2.3.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.2.1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

구간 표기:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 0}$

단계 2.2.2

$f' (x)$ 는 $[1, 2]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

단계 2.3

도함수가 $[1, 2]$ 에서 연속이므로 이 함수는 $[1, 2]$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

단계 3

호의 길이를 구하려면 함수와 도함수가 모두 닫힌 구간 $[1, 2]$ 에서 연속이어야 합니다.

함수 및 도함수는 폐구간 $[1, 2]$ 에서 연속입니다.

단계 4

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3}}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 4.3.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 4.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

단계 4.3.4

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

단계 4.3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

단계 5

함수의 호의 길이를 구하기 위해 공식 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 를 사용합니다.

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

단계 6

적분을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

단계 6.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 6.2.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 6.2.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

단계 6.3

$(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

단계 6.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{- 2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1.1

$x^{- 2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

단계 6.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

단계 6.4.1.3

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

단계 6.4.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

단계 6.5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

단계 6.6

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

단계 6.7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

단계 6.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

단계 6.9

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 6.10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 6.10.2

$2$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.3.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.4

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.5

$4$ 와 $\frac{7}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.6

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

단계 6.10.3.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

단계 6.10.3.9

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

단계 6.10.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

단계 6.10.3.11

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

단계 6.10.3.12

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{28}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

단계 6.10.3.13

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

단계 6.10.3.14

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.3.14.1

$\frac{28}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

단계 6.10.3.14.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

단계 6.10.3.14.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

단계 6.10.3.14.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

단계 6.10.3.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

단계 6.10.3.16

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.3.16.1

$28$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

단계 6.10.3.16.2

$56$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

단계 6.10.3.17

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{59}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

단계 6.10.3.18

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{59}{24}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{59}{24}$

소수 형태:

$2.458\overline{3}$

대분수 형식:

$2 \frac{11}{24}$

단계 8