미적분 예제

$\int_{- 1}^{1} (x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4}) d x$

단계 1

괄호를 제거합니다.

$\int_{- 1}^{1} x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 9

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

단계 10

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1})$

단계 12

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

단계 12.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

단계 12.2.2

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

단계 12.2.3

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

단계 12.2.4

$1$ , $- 1$ 일 때, $\frac{x^{5}}{5}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.6

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.7

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.7.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (0)}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{0}{1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.7.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.9

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 + 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.12

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$0 + 2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.14

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$0 + 2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.15

$2$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.16

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.17

$0$ 를 $\frac{4}{3}$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.18

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.19

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.21

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.22

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.22.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.22.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.22.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.22.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.22.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.22.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} - 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.23

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} + 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.24

$\frac{4}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.25

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

단계 12.2.5.26

$- 1$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5})$

단계 12.2.5.27

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - - \frac{1}{5})$

단계 12.2.5.28

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

단계 12.2.5.29

$\frac{1}{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

단계 12.2.5.30

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} + 5 \frac{1 + 1}{5}$

단계 12.2.5.31

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{2}{5})$

단계 12.2.5.32

$5$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

단계 12.2.5.33

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{10}{5}$

단계 12.2.5.34

$10$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.34.1

$10$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

단계 12.2.5.34.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.34.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

단계 12.2.5.34.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

단계 12.2.5.34.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{3} + \frac{2}{1}$

단계 12.2.5.34.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{4}{3} + 2$

단계 12.2.5.35

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

단계 12.2.5.36

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

단계 12.2.5.37

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

단계 12.2.5.38

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.38.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4 + 6}{3}$

단계 12.2.5.38.2

$4$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{10}{3}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{10}{3}$

소수 형태:

$3.\overline{3}$

대분수 형식:

$3 \frac{1}{3}$

단계 14