미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

단계 1

항을 묶습니다.

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단계 1.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

단계 1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

단계 2

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ 을 $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

단계 2.2

$x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

단계 3

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

단계 4

$x \ln (\frac{x + 1}{x})$ 을 $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

단계 5

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 5.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.2

로그가 무한대에 가까워지면 값은 $\infty$ (으)로 이동합니다.

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

단계 5.1.3

분자는 상수이고 분모는 $x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 근접할 때 $0$ 에 근접하므로 분수 $\frac{1}{x}$ 은 무한대로 발산합니다.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 5.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

단계 5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

단계 5.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 5.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 1}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.3

$\frac{x + 1}{x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.4

$\frac{x}{x + 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.5

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.6

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.9

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.10

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.13

$\frac{x}{x + 1}$ 에 $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.14

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.14.1

$(x + 1) x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.14.2

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.14.3

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15

간단히 합니다.

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단계 5.3.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.15.3.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.3.2

$0$ 에서 $1 \cdot 1$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4

항을 묶습니다.

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단계 5.3.15.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.4.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5

$x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.15.5.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.15.5.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

단계 5.3.16

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

단계 5.3.17

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

단계 5.3.18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

단계 5.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

단계 5.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 5.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

단계 5.5.2

$\frac{1}{x (x + 1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

단계 5.5.3

$\frac{1}{x (x + 1)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

단계 5.6

$x^{2}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

단계 5.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

단계 5.6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x + 1}}$

단계 6

극한값을 계산합니다.

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단계 6.1

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 몫의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

단계 6.2

$x$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

단계 6.3

$x$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

단계 7

$x$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 7.1

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

단계 7.2

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{\frac{0}{0 + 1}}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$e^{\frac{0}{1}}$

단계 8.2

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{0}$

단계 9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$