미적분 예제

$\int x^{3} e^{2 x} d x$

단계 1

$u = x^{3}$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{3} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$x^{3} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

단계 2.2

$x^{3}$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (3 x^{2}) d x$

단계 3

$\frac{1}{2} \cdot 3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 3 \int e^{2 x} (x^{2}) d x)$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{2 x} (x^{2}) d x$

단계 5

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (x^{2} \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

단계 6.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x) d x)$

단계 6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) d x)$

단계 6.4

$2$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x}}{2} x d x)$

단계 6.5

$\frac{2 e^{2 x}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

단계 6.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int \frac{2 e^{2 x} x}{2} d x)$

단계 6.6.2

$e^{2 x} x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \int e^{2 x} x d x)$

단계 7

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

단계 8.2

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x))$

단계 8.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x))$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)))$

단계 10

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u))$

단계 11

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u))$

단계 13.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

단계 14

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)))$ 을 $\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) + C$

단계 15.2

간단히 합니다.

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단계 15.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 15.2.2

$- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x}}{2} + \frac{- \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 15.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} - \frac{3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

단계 15.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 2 (\frac{3}{2}) (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.5

$- 2$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.6

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 6}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.7

$- 6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.2.7.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 15.2.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} + \frac{- 3}{1} (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 15.2.7.2.4

$- 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{u}}{4})}{2} + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{x^{2} e^{2 x}}{2} - \frac{x e^{2 x}}{2} + \frac{e^{2 x}}{4})}{2} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x})) + C$

단계 18

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - 3 (\frac{1}{2} x^{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} x e^{2 x} + \frac{1}{4} e^{2 x})) + C$ 을 $\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (x^{3} e^{2 x} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{3} e^{2 x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + x^{3} e^{2 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.2

$x^{3} e^{2 x}$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 4}{4} - \frac{3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{x^{3} e^{2 x} \cdot 4 - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.4

$x^{3} e^{2 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{4 \cdot (x^{3} e^{2 x}) - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 19.7.1

$\frac{3 x^{2} e^{2 x}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} - \frac{3 x^{2} e^{2 x} \cdot 2}{4} + \frac{4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{- 3 x^{2} e^{2 x} \cdot 2 + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.9

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.10

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 e^{2 x} x}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.11

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 19.11.1

$\frac{3 e^{2 x} x}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{3 e^{2 x} x \cdot 2}{4} + \frac{- 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}) + C$

단계 19.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 e^{2 x} x \cdot 2 - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4} + C$

단계 19.13

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4} + C$

단계 19.14

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{2 \cdot 4} + C$

단계 19.15

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}}{8} + C$

단계 20

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{8} (6 e^{2 x} x - 6 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x^{3} - 3 e^{2 x}) + C$