미적분 예제

$y = x^{e^{x}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{e^{x}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$x^{e^{x}}$ 을 $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

단계 3.1.2

$e^{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{e^{x}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

단계 3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = e^{x} \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $e^{x} \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

단계 3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $e^{x} \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 3.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 3.5

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 3.6

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

단계 3.7

간단히 합니다.

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단계 3.7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

단계 3.7.2

항을 묶습니다.

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단계 3.7.2.1

$e^{e^{x} \ln (x)}$ 와 $\frac{e^{x}}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

단계 3.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

단계 3.7.2.3

지수를 더하여 $e^{e^{x} \ln (x)}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 3.7.2.3.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

단계 3.7.2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

단계 3.7.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

단계 3.7.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

단계 3.7.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$