미적분 예제

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 극한을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{\sqrt{x}}$ 을 $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

단계 1.2

$\sqrt{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\sqrt{x}})$ 을 전개합니다.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

단계 2

극한을 지수로 옮깁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

단계 3

$\sqrt{x} \ln (x)$ 을 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

단계 4

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 4.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

단계 4.1.2

$x$ 이(가) 오른쪽에서 $0$ 에 접근함에 따라 $\ln (x)$ 이(가) 무한히 감수합니다.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

단계 4.1.3

분자는 양수이고 분모 $\sqrt{x}$ 는 0으로 접근하며 오른쪽에서 $0$ 에 가까운 $x$ 에 대해 0보다 크므로 함수는 한없이 증가합니다.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

단계 4.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

단계 4.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 4.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

단계 4.3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

단계 4.3.3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

단계 4.3.5

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

단계 4.3.5.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

단계 4.3.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

단계 4.3.6

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

단계 4.3.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

단계 4.3.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

단계 4.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

단계 4.3.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

단계 4.3.10.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

단계 4.3.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

단계 4.3.12

간단히 합니다.

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단계 4.3.12.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

단계 4.3.12.2

항을 묶습니다.

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단계 4.3.12.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

단계 4.3.12.2.2

$x^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

단계 4.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5

인수끼리 묶습니다.

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단계 4.5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.5.3

$\frac{- 2}{x}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

단계 4.6

소거합니다.

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단계 4.6.1

$- 2 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

단계 4.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

단계 4.6.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

단계 4.6.2.3

공약수로 약분합니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

단계 4.6.2.4

수식을 다시 씁니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

단계 4.6.2.5

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

극한값을 계산합니다.

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단계 5.1

$- 2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

단계 5.2

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 의 지수 $\frac{1}{2}$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$x$ 에 $0$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

단계 7

항을 간단히 합니다.

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단계 7.1

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 7.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

단계 7.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

단계 7.1.4

지수값을 계산합니다.

$e^{- 2 \cdot 0}$

단계 7.1.5

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$e^{0}$

단계 7.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1$