미적분 예제

$y = x^{\cos (x)}$

단계 1

$y = f (x)$ 로 두고, 양변 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 에 자연 로그를 취합니다.

$\ln (y) = \ln (x^{\cos (x)})$

단계 2

$\cos (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\cos (x)})$ 을 전개합니다.

$\ln (y) = \cos (x) \ln (x)$

단계 3

연쇄 법칙을 사용하여 식을 미분합니다. $y$ 이 $x$ 의 함수라는 점에 유의하십시오.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄 법칙을 사용해 좌측 변 $\ln (y)$ 을 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \ln (x)$

단계 3.2

우측 변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\cos (x) \ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

단계 3.2.2

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.4

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2.5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))$

단계 3.2.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

단계 4

$y'$ 을 분리하고 우변의 $y$ 에 원래 함수를 대입합니다.

$y' = (- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}) x^{\cos (x)}$

단계 5

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{x} x^{\cos (x)}$

단계 5.2

$\frac{\cos (x)}{x}$ 와 $x^{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x)}}{x}$

단계 5.3

$x^{\cos (x)}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\cos (x) x^{\cos (x)}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x}$

단계 5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x^{1}}$

단계 5.3.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

단계 5.3.2.3

공약수로 약분합니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{x (\cos (x) x^{\cos (x) - 1})}{x \cdot 1}$

단계 5.3.2.4

수식을 다시 씁니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \frac{\cos (x) x^{\cos (x) - 1}}{1}$

단계 5.3.2.5

$\cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = - \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$

단계 5.4

$- \sin (x) \ln (x) x^{\cos (x)} + \cos (x) x^{\cos (x) - 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = - x^{\cos (x)} \sin (x) \ln (x) + x^{\cos (x) - 1} \cos (x)$