미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x - a}$ 을(를) ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x - a$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - a$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.3

$u$ 를 모두 $x - a$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.8

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.9

합의 법칙에 의해 $x - a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ 가 됩니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.11

$- a$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- a$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- a$ 입니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.12

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.12.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.12.2

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 1.1.14

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.1.15

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.16

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.18

지수를 더하여 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.18.1

${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.18.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.18.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.18.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.18.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.19

${(x - a)}^{1} \cdot 2$ 을 간단히 합니다.

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.20

$x - a$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21

간단히 합니다.

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단계 1.1.21.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.21.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.2.2

$x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.4

$- 2 a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.5

$3 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.6

$- (2 a) - (- 3 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.7

$- (2 a - 3 x)$ 을 $- 1 (2 a - 3 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.21.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 a - 3 x = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

방정식의 양변에서 $2 a$ 를 뺍니다.

$- 3 x = - 2 a$

단계 2.3.2

$- 3 x = - 2 a$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$- 3 x = - 2 a$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

단계 2.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

단계 2.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

단계 2.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{2 a}{3}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x \sqrt{x - a}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = \frac{2 a}{3}$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{2 a}{3}$ 를 대입합니다.

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- a$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

단계 4.1.2.2

$- a$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.2.4

인수분해된 형태로 $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ 를 다시 씁니다.

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단계 4.1.2.4.1

$2 a - a \cdot 3$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.2.4.1.1

$2 a$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

단계 4.1.2.4.1.2

$- a \cdot 3$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

단계 4.1.2.4.1.3

$a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ 에서 $a$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

단계 4.1.2.4.2

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

단계 4.1.2.4.3

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

단계 4.1.2.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1.2.5.1

$a$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

단계 4.1.2.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

단계 4.1.2.6

$\frac{2 a}{3}$ 와 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

단계 5