대수 예제

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

단계 1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

단계 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 3

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 3.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 3.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 4

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 5

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 6

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 7

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 8

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 9

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- x^{2} = 1$

단계 10

$- x^{2} = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- x^{2} = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 10.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 10.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

단계 10.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = - 1$

단계 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 12

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 13

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 13.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 13.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 14

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

단계 15

해를 하나로 합합니다.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

단계 16

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

단계 16.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

단계 16.2.2

$x - 7$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.2.1

$x - 7$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 7 = 0$

단계 16.2.2.2

방정식의 양변에 $7$ 를 더합니다.

$x = 7$

단계 16.2.3

${(x + 3)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.3.1

${(x + 3)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 3)}^{2} = 0$

단계 16.2.3.2

${(x + 3)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.3.2.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 16.2.3.2.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 16.2.4

$- x^{2} - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.4.1

$- x^{2} - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x^{2} - 1 = 0$

단계 16.2.4.2

$- x^{2} - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- x^{2} = 1$

단계 16.2.4.2.2

$- x^{2} = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.4.2.2.1

$- x^{2} = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 16.2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 16.2.4.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

단계 16.2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.4.2.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = - 1$

단계 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 16.2.4.2.4

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 16.2.4.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.4.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 16.2.4.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 16.2.4.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 16.2.5

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 7, - 3, i, - i$

단계 16.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

단계 17

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

단계 18

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 18.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

단계 18.1.3

좌변 $- 1.\overline{039501}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 18.2

$- 3 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$- 3 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 18.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

단계 18.2.3

좌변 $- 0.0\overline{8}$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 18.3

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.3.1

$- 1 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 0.5$

단계 18.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 0.5$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

단계 18.3.3

좌변 $0.0005\overline{3}$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 18.4

$0 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.4.1

$0 < x < 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 18.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

단계 18.4.3

좌변 $0.80032012$ 이 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 18.5

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.5.1

$x > 7$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 18.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

단계 18.5.3

좌변 $- 2.599254$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 18.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 7$ 거짓

$x > 7$ 참

$x < - 3$ 참

$- 3 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 7$ 거짓

$x > 7$ 참

단계 19

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 3$ 또는 $- 3 < x \leq - 1$ 또는 $x > 7$ 또는 $x = 0$

단계 20

구간을 조합합니다.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

단계 21

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

부등식 형식:

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

구간 표기:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

단계 22