대수 예제

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.5 x^{2}$ 의 미분은 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.2.3

$2$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.2.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [23 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$23$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $23 x$ 의 미분은 $23 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.3.3

$23$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.4

$- 216$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 216$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 216$ 입니다.

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

단계 1.5

$\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$2600$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2600}{x}$ 의 미분은 $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.5.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.5.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

단계 1.5.4

$- 1$ 에 $2600$ 을 곱합니다.

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

단계 1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.6.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$x + 23$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.6.2.2

$- 2600$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

단계 1.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

단계 1.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2600$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{2600}{x^{2}}$ 의 미분은 $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.2.10

$- 2$ 에 $- 2600$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

단계 2.3

$23$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $23$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $23$ 입니다.

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$5200$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

단계 2.4.2.2

$1 + \frac{5200}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.5 x^{2}$ 의 미분은 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.2.3

$2$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.2.4

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [23 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.3.1

$23$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $23 x$ 의 미분은 $23 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.3.3

$23$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.4

$- 216$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 216$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 216$ 입니다.

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

단계 4.1.5

$\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.5.1

$2600$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2600}{x}$ 의 미분은 $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

단계 4.1.5.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

단계 4.1.5.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

단계 4.1.5.4

$- 1$ 에 $2600$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

단계 4.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

단계 4.1.6.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.6.2.1

$x + 23$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

단계 4.1.6.2.2

$- 2600$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

단계 4.1.6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

단계 4.1.6.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ 입니다.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

단계 5.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x \approx 9.01216529$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2600}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 6.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 6.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 6.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 6.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 7

계산할 임계점.

$x = 9.01216529$

단계 8

$x = 9.01216529$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$9.01216529$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

단계 9.1.2

$5200$ 을 $731.96016423$ 로 나눕니다.

$7.10421175 + 1$

단계 9.2

$7.10421175$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8.10421175$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = 9.01216529$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 9.01216529$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = 9.01216529$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $9.01216529$ 을 대입합니다.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1.1

$9.01216529$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

단계 11.2.1.2

$0.5$ 에 $81.21912329$ 을 곱합니다.

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

단계 11.2.1.3

$23$ 에 $9.01216529$ 을 곱합니다.

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

단계 11.2.1.4

$2600$ 을 $9.01216529$ 로 나눕니다.

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

단계 11.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.2.1

$40.60956164$ 를 $207.27980177$ 에 더합니다.

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

단계 11.2.2.2

$247.88936342$ 에서 $216$ 을 뺍니다.

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

단계 11.2.2.3

$31.88936342$ 를 $288.49892506$ 에 더합니다.

$f (9.01216529) = 320.38828848$

단계 11.2.3

최종 답은 $320.38828848$ 입니다.

$y = 320.38828848$

단계 12

$f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(9.01216529, 320.38828848)$ 은 극솟값임

단계 13