대수 예제

$p (x) = (2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$

단계 1

데카르트 법칙을 적용하기 위하여 다항식을 간단히 하고 내림차순으로 다시 정렬합니다.

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단계 1.1

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(2 x^{4} - 5 x^{3} + 10 x - 25) (x^{3} + 5)$ 를 전개합니다.

$2 x^{4} x^{3} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2

항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 (x^{3} x^{4}) + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{3 + 4} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.1.3

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$2 x^{7} + 2 x^{4} \cdot 5 - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3} x^{3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1.3.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 (x^{3} x^{3}) - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{3 + 3} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.3.3

$3$ 를 $3$ 에 더합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 5 x^{3} \cdot 5 + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.4

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x \cdot x^{3} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1.5.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.5.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{3 + 1} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.5.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 10 x \cdot 5 - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.6

$5$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 25 \cdot 5$

단계 1.2.1.7

$- 25$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$2 x^{7} + 10 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 10 x^{4} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

단계 1.2.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$10 x^{4}$ 를 $10 x^{4}$ 에 더합니다.

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 25 x^{3} + 50 x - 25 x^{3} - 125$

단계 1.2.2.2

$- 25 x^{3}$ 에서 $25 x^{3}$ 을 뺍니다.

$2 x^{7} + 20 x^{4} - 5 x^{6} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

단계 1.2.2.3

$20 x^{4}$ 를 옮깁니다.

$2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

단계 2

양근의 개수를 구하기 위해 계수의 부호가 +에서 -로 또는 -에서 +로 바뀌는 횟수를 셉니다.

$f (x) = 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 x^{3} + 50 x - 125$

단계 3

최고차항에서 최저차항까지 부호가 $5$ 번 바뀌므로, 최대 $5$ 개의 양근이 존재합니다(데카르트의 부호 법칙). 나머지 가능한 양근의 개수는 근의 쌍 $(5 - 2)$ 을 빼서 구합니다.

양근: $5$ , $3$ , or $1$

단계 4

음근의 개수를 구하기 위해 $x$ 를 $- x$ 로 바꾸고 부호의 비교를 반복합니다.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{7} x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.2

$- 1$ 를 $7$ 승 합니다.

$f (- x) = 2 (- x^{7}) - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 {(- x)}^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.4

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 ({(- 1)}^{6} x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.5

$- 1$ 를 $6$ 승 합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 (1 x^{6}) + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.6

$x^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 {(- x)}^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.7

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.8

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 (1 x^{4}) - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.9

$x^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 {(- x)}^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.10

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 50 (- x) - 125$

단계 5.11

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} - 50 (- x^{3}) + 50 (- x) - 125$

단계 5.12

$- 1$ 에 $- 50$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} + 50 (- x) - 125$

단계 5.13

$- 1$ 에 $50$ 을 곱합니다.

$f (- x) = - 2 x^{7} - 5 x^{6} + 20 x^{4} + 50 x^{3} - 50 x - 125$

단계 6

최고차항에서 최저차항까지 부호가 $2$ 번 바뀌므로, 최대 $2$ 개의 음근이 존재합니다(데카르트의 부호 법칙). 나머지 가능한 음근의 개수는 근의 쌍을 빼서 구합니다 (예를 들어 $2 - 2$ ).

음근: $2$ 또는 $0$

단계 7

가능한 양근의 개수는 $5$ , $3$ , or $1$ 이며 가능한 음근의 개수는 $2$ 또는 $0$ 입니다.

양근: $5$ , $3$ , or $1$

음근: $2$ 또는 $0$