대수 예제

$\frac{x^{2} + x - 12}{x + 1} \geq 0$

단계 1

$- 4 \leq x < - 1 or x \geq 3$ 을 풉니다.

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단계 1.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x^{2} + x - 12 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 1.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 3, 4$

단계 1.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

단계 1.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

단계 1.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 1.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 1.5

$x + 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.5.1

$x + 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 4 = 0$

단계 1.5.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$x = - 4$

단계 1.6

$(x - 3) (x + 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 4$

단계 1.7

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.8

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 3, - 4$

$x = - 1$

단계 1.9

해를 하나로 합합니다.

$x = 3, - 4, - 1$

단계 1.10

$\frac{x^{2} + x - 12}{x + 1}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 1.10.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x^{2} + x - 12}{x + 1}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x + 1 = 0$

단계 1.10.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 1.10.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 1.11

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

단계 1.12

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 1.12.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.12.1.1

$x < - 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 1.12.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 12}{(- 6) + 1} \geq 0$

단계 1.12.1.3

좌변 $- 3.6$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 1.12.2

$- 4 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.12.2.1

$- 4 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 1.12.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 2 - 12}{(- 2) + 1} \geq 0$

단계 1.12.2.3

좌변 $10$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 1.12.3

$- 1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.12.3.1

$- 1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 1.12.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 12}{(0) + 1} \geq 0$

단계 1.12.3.3

좌변 $- 12$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 1.12.4

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.12.4.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 1.12.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{{(6)}^{2} + 6 - 12}{(6) + 1} \geq 0$

단계 1.12.4.3

좌변 $4.\overline{285714}$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 1.12.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

$x < - 4$ 거짓

$- 4 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 3$ 거짓

$x > 3$ 참

단계 1.13

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 4 \leq x < - 1$ 또는 $x \geq 3$

단계 2

부등식 $- 4 \leq x < - 1 or x \geq 3$ 을 사용하여 집합 표기법으로 표현합니다.

${x | - 4 \leq x < - 1 or x \geq 3}$

단계 3