대수 예제

$x^{3} - 4 x > 0$

단계 1

$- 2 < x < 0 or x > 2$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{3} - 4 x = 0$

단계 1.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$x^{3} - 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

단계 1.2.1.2

$- 4 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

단계 1.2.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} - 4) = 0$

단계 1.2.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

단계 1.2.3

인수분해합니다.

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단계 1.2.3.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 2$ 입니다.

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

단계 1.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

단계 1.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

단계 1.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 1.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 1.6

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 1.6.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 1.7

$x (x + 2) (x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2, 2$

단계 1.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

단계 1.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 1.9.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.9.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 1.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

${(- 4)}^{3} - 4 \cdot - 4 > 0$

단계 1.9.1.3

좌변 $- 48$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.9.2

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.9.2.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 1.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

${(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1 > 0$

단계 1.9.2.3

좌변 $3$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.9.3

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.9.3.1

$0 < x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 1$

단계 1.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $1$ 로 치환합니다.

${(1)}^{3} - 4 \cdot 1 > 0$

단계 1.9.3.3

좌변 $- 3$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.9.4

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 1.9.4.1

$x > 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 4$

단계 1.9.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $4$ 로 치환합니다.

${(4)}^{3} - 4 \cdot 4 > 0$

단계 1.9.4.3

좌변 $48$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.9.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 0$ 참

$0 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

$x < - 2$ 거짓

$- 2 < x < 0$ 참

$0 < x < 2$ 거짓

$x > 2$ 참

단계 1.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 2 < x < 0$ 또는 $x > 2$

단계 2

부등식 $- 2 < x < 0 or x > 2$ 을 사용하여 집합 표기법으로 표현합니다.

${x | - 2 < x < 0 or x > 2}$

단계 3