대수 예제

$\frac{2}{x^{3} - 27}$

단계 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$27$ 을 $3^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{x^{3} - 3^{3}}$

단계 1.1.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{2}{(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})}$

단계 1.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{2}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})}$

단계 1.1.3.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{2}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}$

단계 1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 3}$

단계 1.3

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.4

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ 입니다.

$\frac{2 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.5

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.6

$x^{2} + 3 x + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9} = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.6.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 = \frac{(A) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$x - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

공약수로 약분합니다.

$2 = \frac{A (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x - 3} + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7.1.2

$(A) (x^{2} + 3 x + 9)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 = (A) (x^{2} + 3 x + 9) + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 = A x^{2} + A (3 x) + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + A \cdot 9 + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7.3.2

$A$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 \cdot A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7.4

$x^{2} + 3 x + 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + \frac{(B x + C) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 1.7.4.2

$(B x + C) (x - 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + (B x + C) (x - 3)$

단계 1.7.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(B x + C) (x - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B x (x - 3) + C (x - 3)$

단계 1.7.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C (x - 3)$

단계 1.7.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B x \cdot x + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B x^{2} + B x \cdot - 3 + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6.2

$B x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B x^{2} - 3 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 3$

단계 1.7.6.3

$C$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$2 = A x^{2} + 3 A x + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

단계 1.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.8.1

$A$ 를 옮깁니다.

$2 = A x^{2} + 3 x A + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

단계 1.8.2

$B$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$2 = A x^{2} + 3 x A + 9 A + B x^{2} - 3 B x + C x - 3 C$

단계 1.8.3

$B$ 를 옮깁니다.

$2 = A x^{2} + 3 x A + 9 A + B x^{2} - 3 x B + C x - 3 C$

단계 1.8.4

$9 A$ 를 옮깁니다.

$2 = A x^{2} + 3 x A + B x^{2} - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

단계 1.8.5

$3 x A$ 를 옮깁니다.

$2 = A x^{2} + B x^{2} + 3 x A - 3 x B + C x + 9 A - 3 C$

단계 2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

단계 2.2

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = 3 A - 3 B + C$

단계 2.3

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$2 = 9 A - 3 C$

단계 2.4

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$0 = 3 A - 3 B + C$

$2 = 9 A - 3 C$

$0 = A + B$

$0 = 3 A - 3 B + C$

$2 = 9 A - 3 C$

단계 3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$0 = A + B$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 0$

$0 = 3 A - 3 B + C$

$2 = 9 A - 3 C$

단계 3.1.2

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = - B$

$0 = 3 A - 3 B + C$

$2 = 9 A - 3 C$

$A = - B$

$0 = 3 A - 3 B + C$

$2 = 9 A - 3 C$

단계 3.2

각 방정식에서 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$0 = 3 A - 3 B + C$ 의 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

$0 = 3 (- B) - 3 B + C$

$A = - B$

$2 = 9 A - 3 C$

단계 3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$3 (- B) - 3 B + C$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$0 = - 3 B - 3 B + C$

$A = - B$

$2 = 9 A - 3 C$

단계 3.2.2.1.2

$- 3 B$ 에서 $3 B$ 을 뺍니다.

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

$2 = 9 A - 3 C$

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

$2 = 9 A - 3 C$

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

$2 = 9 A - 3 C$

단계 3.2.3

$2 = 9 A - 3 C$ 의 $A$ 를 모두 $- B$ 로 바꿉니다.

$2 = 9 (- B) - 3 C$

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

단계 3.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$2 = - 9 B - 3 C$

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

$2 = - 9 B - 3 C$

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

$2 = - 9 B - 3 C$

$0 = - 6 B + C$

$A = - B$

단계 3.3

$0 = - 6 B + C$ 의 $C$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 6 B + C = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 6 B + C = 0$

$2 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

단계 3.3.2

방정식의 양변에 $6 B$ 를 더합니다.

$C = 6 B$

$2 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

$C = 6 B$

$2 = - 9 B - 3 C$

$A = - B$

단계 3.4

각 방정식에서 $C$ 를 모두 $6 B$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 = - 9 B - 3 C$ 의 $C$ 를 모두 $6 B$ 로 바꿉니다.

$2 = - 9 B - 3 (6 B)$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$- 9 B - 3 (6 B)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1.1

$6$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$2 = - 9 B - 18 B$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.4.2.1.2

$- 9 B$ 에서 $18 B$ 을 뺍니다.

$2 = - 27 B$

$C = 6 B$

$A = - B$

$2 = - 27 B$

$C = 6 B$

$A = - B$

$2 = - 27 B$

$C = 6 B$

$A = - B$

$2 = - 27 B$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.5

$2 = - 27 B$ 의 $B$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$- 27 B = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 27 B = 2$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.5.2

$- 27 B = 2$ 의 각 항을 $- 27$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.1

$- 27 B = 2$ 의 각 항을 $- 27$ 로 나눕니다.

$\frac{- 27 B}{- 27} = \frac{2}{- 27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1

$- 27$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 27 B}{- 27} = \frac{2}{- 27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.5.2.2.1.2

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{2}{- 27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$B = - \frac{2}{27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{27}$

$C = 6 B$

$A = - B$

단계 3.6

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $- \frac{2}{27}$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$C = 6 B$ 의 $B$ 를 모두 $- \frac{2}{27}$ 로 바꿉니다.

$C = 6 (- \frac{2}{27})$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1

$6 (- \frac{2}{27})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.1.1

$- \frac{2}{27}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$C = 6 (\frac{- 2}{27})$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.1.2

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$C = 3 (2) (\frac{- 2}{27})$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.1.3

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$C = 3 \cdot (2 (\frac{- 2}{3 \cdot 9}))$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.1.4

공약수로 약분합니다.

$C = 3 \cdot (2 (\frac{- 2}{3 \cdot 9}))$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.1.5

수식을 다시 씁니다.

$C = 2 (\frac{- 2}{9})$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

$C = 2 (\frac{- 2}{9})$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.2

$2$ 와 $\frac{- 2}{9}$ 을 묶습니다.

$C = \frac{2 \cdot - 2}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.2.1.3.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$C = \frac{- 4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.2.1.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = - B$

단계 3.6.3

$A = - B$ 의 $B$ 를 모두 $- \frac{2}{27}$ 로 바꿉니다.

$A = - (- \frac{2}{27})$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

단계 3.6.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.4.1

$- (- \frac{2}{27})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.4.1.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$A = 1 (\frac{2}{27})$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

단계 3.6.4.1.2

$\frac{2}{27}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A = \frac{2}{27}$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = \frac{2}{27}$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = \frac{2}{27}$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

$A = \frac{2}{27}$

$C = - \frac{4}{9}$

$B = - \frac{2}{27}$

단계 3.7

모든 해를 나열합니다.

$A = \frac{2}{27}, C = - \frac{4}{9}, B = - \frac{2}{27}$

단계 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x - 3} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3 x + 9}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{\frac{2}{27}}{x - 3} + \frac{- \frac{2}{27 x} - \frac{4}{9}}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x$ 와 $\frac{2}{27}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2}{27}}{x - 3} + \frac{- \frac{x \cdot 2}{27} - \frac{4}{9}}{x^{2} + 3 x + 9}$

단계 5.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{2}{27}}{x - 3} + \frac{- \frac{2 x}{27} - \frac{4}{9}}{x^{2} + 3 x + 9}$