대수 예제

$f (x) = - 2 (x - 2) {(x + 3)}^{3}$

단계 1

함수의 차수를 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 간단히 정리하고 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 3)}^{3}$

단계 1.1.1.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 4) {(x + 3)}^{3}$

단계 1.1.2

이항정리 이용

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

단계 1.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

단계 1.1.3.2

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

$3^{2}$ 를 옮깁니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3})$

단계 1.1.3.2.2

$3^{2}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3})$

단계 1.1.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3})$

단계 1.1.3.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3})$

단계 1.1.3.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3})$

단계 1.1.3.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$

단계 1.1.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ 를 전개합니다.

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 2 (x^{3} x) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.1.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{3 + 1} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.1.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{2 + 1} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.4

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x \cdot x - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 (x \cdot x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.7

$- 2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.8

$27$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.9

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.10

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 4 \cdot 27$

단계 1.1.5.1.11

$4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108$

단계 1.1.5.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.2.1

$- 18 x^{3}$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 36 x^{2} + 108 x + 108$

단계 1.1.5.2.2

$- 54 x^{2}$ 를 $36 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 108 x + 108$

단계 1.1.5.2.3

$- 54 x$ 를 $108 x$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x + 108$

단계 1.2

가장 큰 지수가 다항식의 차수입니다.

$4$

단계 2

차수가 짝수이므로, 함수의 양끝은 같은 방향으로 향합니다.

짝

단계 3

최고차항 계수를 알아냅니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

다항식을 간단히 하고 차수가 가장 높은 항부터 왼쪽에서 오른쪽으로 식을 다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 2 x - 2 \cdot - 2) {(x + 3)}^{3}$

단계 3.1.1.2

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 4) {(x + 3)}^{3}$

단계 3.1.2

이항정리 이용

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

단계 3.1.3

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3 x \cdot 3^{2} + 3^{3})$

단계 3.1.3.2

지수를 더하여 $3$ 에 $3^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.2.1

$3^{2}$ 를 옮깁니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3 x + 3^{3})$

단계 3.1.3.2.2

$3^{2}$ 에 $3$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.2.2.1

$3$ 를 $1$ 승 합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2} \cdot 3^{1} x + 3^{3})$

단계 3.1.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{2 + 1} x + 3^{3})$

단계 3.1.3.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 3^{3} x + 3^{3})$

단계 3.1.3.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 3^{3})$

단계 3.1.3.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$

단계 3.1.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- 2 x + 4) (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ 를 전개합니다.

$- 2 x \cdot x^{3} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$- 2 (x^{3} x) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.1.2

$x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 (x^{3} x^{1}) - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{3 + 1} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.1.3

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 2 x (9 x^{2}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{2 + 1} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 2 \cdot 9 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.4

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 x (27 x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x \cdot x - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1.6.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 (x \cdot x) - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.6.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 2 \cdot 27 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.7

$- 2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 2 x \cdot 27 + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.8

$27$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 4 (9 x^{2}) + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.9

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 4 (27 x) + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.10

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 4 \cdot 27$

단계 3.1.5.1.11

$4$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 2 x^{4} - 18 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 4 x^{3} + 36 x^{2} + 108 x + 108$

단계 3.1.5.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.2.1

$- 18 x^{3}$ 를 $4 x^{3}$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 54 x^{2} - 54 x + 36 x^{2} + 108 x + 108$

단계 3.1.5.2.2

$- 54 x^{2}$ 를 $36 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} - 54 x + 108 x + 108$

단계 3.1.5.2.3

$- 54 x$ 를 $108 x$ 에 더합니다.

$- 2 x^{4} - 14 x^{3} - 18 x^{2} + 54 x + 108$

단계 3.2

다항식의 선행항은 차수가 가장 높은 항입니다.

$- 2 x^{4}$

단계 3.3

다항식에서 선행계수는 선행항의 계수입니다.

$- 2$

단계 4

최고차항 계수가 음수이므로, 그래프는 오른쪽 아래로 향합니다.

음의

단계 5

함수의 차수와 최고차항 계수의 부호를 사용하여 그래프의 모양을 확인합니다.

1. 짝수이고 양수인 경우: 왼쪽은 올라가고 오른쪽은 올라가는 모양.

2. 짝수이고 음수인 경우: 왼쪽은 내려가고 오른쪽은 내려가는 모양.

3. 홀수이고 양수인 경우: 왼쪽은 내려가고 오른쪽은 올라가는 모양.

4. 홀수이고 음수인 경우: 왼쪽은 올라가고 오른쪽은 내려가는 모양

단계 6

어떤 개형인지 확인합니다.

왼쪽으로 내려가고 오른쪽으로 내려감

단계 7