대수 예제

$\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$

단계 1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (x + \frac{1}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$ 는 $\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$ 입니다.

$\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

단계 2

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x \cdot 2 + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

단계 2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

단계 3

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

단계 3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x + \frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(1 + x + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2 + 1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.5

$x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{x \cdot 2 + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.7

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.9

$x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

단계 3.3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{x \cdot 2 + 1}{2})}}$

단계 3.3.11

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{2 x + 1}{2})}}$

단계 3.3.12

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 x + 1}{2})}}$

단계 3.3.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x + 1)}{2}}}$

단계 3.3.14

인수분해된 형태로 $\frac{2 - (2 x + 1)}{2}$ 를 다시 씁니다.

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단계 3.3.14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2}}}$

단계 3.3.14.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1 \cdot 1}{2}}}$

단계 3.3.14.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1}{2}}}$

단계 3.3.14.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2}}}$

단계 3.4

$\frac{2 x + 3}{2}$ 에 $\frac{- 2 x + 1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{2 \cdot 2}}}$

단계 3.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}}}$

단계 3.6

$\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.6.1

$(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{4}}}$

단계 3.6.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}}}$

단계 3.6.3

분수 $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}}$

단계 3.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

단계 3.8

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{2}}$

단계 4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

단계 5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

단계 5.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 x + 1) \frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

단계 6

$\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 을 곱합니다.

$(2 x + 1) (\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}})$

단계 7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 에 $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 을 곱합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

단계 7.2

$\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

단계 7.3

$\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} {\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1}}$

단계 7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1 + 1}}$

단계 7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}}$

단계 7.6

${\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}$ 을 $(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 을(를) ${((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{({((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{1}}$

단계 7.6.5

간단히 합니다.

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

단계 8

$2 x + 1$ 에 $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

단계 9

$- 2 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) + 1)}$

단계 10

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) - 1 (- 1))}$

단계 11

$- (2 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x - 1))}$

단계 12

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 12.1

$- (2 x - 1)$ 을 $- 1 (2 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 1 (2 x - 1))}$

단계 12.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$

단계 12.3

$- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} (2 x + 1)}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$