대수 예제

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 0.5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $0.5 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $0.5 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2.2

$0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.5 x$ 의 미분은 $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2.4

$0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.2.5

$e^{0.5 x}$ 의 왼쪽으로 $0.5$ 이동하기

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$64$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $64 e^{- 0.5 x}$ 의 미분은 $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ 입니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 0.5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 0.5 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

단계 1.1.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

단계 1.1.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 0.5 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

단계 1.1.3.3

$- 0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 0.5 x$ 의 미분은 $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

단계 1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

단계 1.1.3.5

$- 0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

단계 1.1.3.6

$e^{- 0.5 x}$ 의 왼쪽으로 $- 0.5$ 이동하기

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

단계 1.1.3.7

$- 0.5$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ 입니다.

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

단계 2.2

양변에 그 값을 더하여 $- 32 e^{- 0.5 x}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

단계 2.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

단계 2.4

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\ln (0.5 e^{0.5 x})$ 을 $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

단계 2.4.2

$0.5 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{0.5 x})$ 을 전개합니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

단계 2.4.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

단계 2.4.4

$0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

단계 2.5

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\ln (32 e^{- 0.5 x})$ 을 $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

단계 2.5.2

$- 0.5 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 0.5 x})$ 을 전개합니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

단계 2.5.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

단계 2.5.4

$- 0.5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

단계 2.6

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

단계 2.7

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

단계 2.8

$0.5$ 을 $32$ 로 나눕니다.

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

단계 2.9

$- 0.5 x$ 에서 $0.5 x$ 을 뺍니다.

$\ln (0.015625) = - 1 x$

단계 2.10

$x$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

단계 2.11

$- 1 x = \ln (0.015625)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.1

$- 1 x = \ln (0.015625)$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.1

$- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.1.2

$- 1 (1) x$ 에서 $1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.1.3

$\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.2.1

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ 을 $- (- 1 \cdot 1 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.2.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.3

$- - x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.2.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.2.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

단계 2.11.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.11.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

단계 2.11.3.2

$\ln (0.015625)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = - \ln (0.015625)$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- \ln (0.015625)$ 입니다.

$- \ln (0.015625)$

단계 4

도함수 $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ 구간에서 $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \ln (0.015625))$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.15888308$ 을 대입합니다.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0.5$ 에 $3.15888308$ 을 곱합니다.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

단계 5.2.1.2

$0.5$ 에 $e^{1.57944154}$ 을 곱합니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

단계 5.2.1.3

$- 0.5$ 에 $3.15888308$ 을 곱합니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

단계 5.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

단계 5.2.1.5

$- 32$ 와 $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ 을 묶습니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

단계 5.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

단계 5.2.1.7

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

단계 5.2.1.8

$2.71828182$ 를 $1.57944154$ 승 합니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

단계 5.2.1.9

$32$ 을 $4.85224527$ 로 나눕니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

단계 5.2.1.10

$- 1$ 에 $6.59488508$ 을 곱합니다.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

단계 5.2.2

$2.42612263$ 에서 $6.59488508$ 을 뺍니다.

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 4.16876244$ 입니다.

$- 4.16876244$

단계 5.3

$x = 3.15888308$ 에서의 도함수는 $- 4.16876244$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \ln (0.015625))$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \ln (0.015625))$ 에서 감소함

단계 6

$(- \ln (0.015625), \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5.15888308$ 을 대입합니다.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0.5$ 에 $5.15888308$ 을 곱합니다.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

단계 6.2.1.2

$0.5$ 에 $e^{2.57944154}$ 을 곱합니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

단계 6.2.1.3

$- 0.5$ 에 $5.15888308$ 을 곱합니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

단계 6.2.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

단계 6.2.1.5

$- 32$ 와 $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ 을 묶습니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

단계 6.2.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

단계 6.2.1.7

$e$ 를 근사치로 바꿉니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

단계 6.2.1.8

$2.71828182$ 를 $2.57944154$ 승 합니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

단계 6.2.1.9

$32$ 을 $13.18977016$ 로 나눕니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

단계 6.2.1.10

$- 1$ 에 $2.42612263$ 을 곱합니다.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

단계 6.2.2

$6.59488508$ 에서 $2.42612263$ 을 뺍니다.

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

단계 6.2.3

최종 답은 $4.16876244$ 입니다.

$4.16876244$

단계 6.3

$x = 5.15888308$ 에서의 도함수는 $4.16876244$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \ln (0.015625), \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \ln (0.015625), \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \ln (0.015625), \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

단계 8