대수 예제

$y = \frac{4 x^{5} + 2 x^{2}}{3 x^{4} + 5}$

단계 1

$f (x) = 4 x^{5} + 2 x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{4} + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{5} + 2 x^{2}] - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $4 x^{5} + 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{5}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 3.3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 4

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 2 (2 x)) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 4.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5]}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 5

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 6

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 6.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 6.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5])}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 7

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 7.2

$12 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5} + 2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) + (- (4 x^{5}) - (2 x^{2})) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x^{4} + 5) (20 x^{4} + 4 x)$ 를 전개합니다.

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단계 8.3.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4} + 4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4} + 4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{4} (20 x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{3 \cdot 20 x^{4} x^{4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.2.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 \cdot 20 (x^{4} x^{4}) + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 \cdot 20 x^{4 + 4} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{3 \cdot 20 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.3

$3$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 3 x^{4} (4 x) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{4} x + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.5

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.2.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x \cdot x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.5.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.2.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 (x^{1} x^{4}) + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{1 + 4} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.5.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{60 x^{8} + 3 \cdot 4 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.6

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 5 (20 x^{4}) + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.7

$20$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 5 (4 x) - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.2.8

$4$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{5}) (12 x^{3}) - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.3

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.3.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 (x^{3} x^{5})) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{3 + 5}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.3.3

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - (4 x^{8}) \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 4 x^{8} \cdot 12 - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.5

$12$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{2}) (12 x^{3})}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.6.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 (x^{3} x^{2})) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{3 + 2}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.6.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - (2 x^{5}) \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 2 x^{5} \cdot 12}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.1.8

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 48 x^{8} - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.2

$60 x^{8}$ 에서 $48 x^{8}$ 을 뺍니다.

$\frac{12 x^{8} + 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x - 24 x^{5}}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.3.3

$12 x^{5}$ 에서 $24 x^{5}$ 을 뺍니다.

$\frac{12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4

$12 x^{8} - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.4.1

$12 x^{8}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7}) - 12 x^{5} + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4.2

$- 12 x^{5}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 100 x^{4} + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4.3

$100 x^{4}$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 20 x}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4.4

$20 x$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4.5

$4 x (3 x^{7}) + 4 x (- 3 x^{4})$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4.6

$4 x (3 x^{7} - 3 x^{4}) + 4 x (25 x^{3})$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$

단계 8.4.7

$4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3}) + 4 x (5)$ 에서 $4 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x (3 x^{7} - 3 x^{4} + 25 x^{3} + 5)}{{(3 x^{4} + 5)}^{2}}$