대수 예제

$2 \cos^{2} (t) - \cos (t) - 1 = 0$ , $[0, 2 π]$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $\cos (t)$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

단계 1.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1.1

$- u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

단계 1.2.1.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

단계 1.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

단계 1.2.1.4

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

단계 1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

단계 1.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

단계 1.2.3

최대공약수 $2 u + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\cos (t)$ 로 바꿉니다.

$(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 \cos (t) + 1 = 0$

$\cos (t) - 1 = 0$

단계 3

$2 \cos (t) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2 \cos (t) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (t) + 1 = 0$

단계 3.2

$2 \cos (t) + 1 = 0$ 을 $t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 \cos (t) = - 1$

단계 3.2.2

$2 \cos (t) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 \cos (t) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 3.2.2.2.1.2

$\cos (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (t) = \frac{- 1}{2}$

단계 3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (t) = - \frac{1}{2}$

단계 3.2.3

코사인 안의 $t$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$t = \arccos (- \frac{1}{2})$

단계 3.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{2 π}{3}$ 입니다.

$t = \frac{2 π}{3}$

단계 3.2.5

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$t = 2 π - \frac{2 π}{3}$

단계 3.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 3.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 3.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$t = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

단계 3.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$t = \frac{6 π - 2 π}{3}$

단계 3.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$t = \frac{4 π}{3}$

단계 3.2.7

$\cos (t)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 3.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 3.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 3.2.8

함수 $\cos (t)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$

단계 4

$\cos (t) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $t$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\cos (t) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (t) - 1 = 0$

단계 4.2

$\cos (t) - 1 = 0$ 을 $t$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\cos (t) = 1$

단계 4.2.2

코사인 안의 $t$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$t = \arccos (1)$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$\arccos (1)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$t = 0$

단계 4.2.4

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$t = 2 π - 0$

단계 4.2.5

$2 π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$t = 2 π$

단계 4.2.6

$\cos (t)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 4.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 4.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 4.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 4.2.7

함수 $\cos (t)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $t = 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 5

$(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 6

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $t = \frac{2 π n}{3}$

단계 7

구간 $[0, 2 π]$ 에 속하는 값을 생성하는 $n$ 값들을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$n$ 에 $0$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π]$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$n$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$\frac{2 π (0)}{3}$

단계 7.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.1

$2 π (0)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

단계 7.1.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.1.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

단계 7.1.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

단계 7.1.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 π \cdot (0)}{1}$

단계 7.1.2.1.2.4

$2 π \cdot (0)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π \cdot (0)$

단계 7.1.2.2

$2 π (0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.2.2.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$0 π$

단계 7.1.2.2.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$0$

단계 7.1.3

구간 $[0, 2 π]$ 은 $0$ 을 포함합니다.

$t = 0$

단계 7.2

$n$ 에 $1$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π]$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$n$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$\frac{2 π (1)}{3}$

단계 7.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 π}{3}$

단계 7.2.3

구간 $[0, 2 π]$ 은 $\frac{2 π}{3}$ 을 포함합니다.

$t = 0, \frac{2 π}{3}$

단계 7.3

$n$ 에 $2$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π]$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$n$ 에 $2$ 를 대입합니다.

$\frac{2 π (2)}{3}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π}{3}$

단계 7.3.3

구간 $[0, 2 π]$ 은 $\frac{4 π}{3}$ 을 포함합니다.

$t = 0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

단계 7.4

$n$ 에 $3$ 를 대입하고 식을 간단히 하여 해가 $[0, 2 π]$ 에 포함되는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$n$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$\frac{2 π (3)}{3}$

단계 7.4.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 π \cdot 3}{3}$

단계 7.4.2.2

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 7.4.3

구간 $[0, 2 π]$ 은 $2 π$ 을 포함합니다.

$t = 0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, 2 π$