대수 예제

${(x + 3 y)}^{7}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x + 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 3 y)$

단계 1.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 3 y)$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 7 {(x + 3 y)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 3 y)$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 7 {(x + 3 y)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 3 y)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 1.2.3

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$f' (x) = 7 {(x + 3 y)}^{6} (1 + 0)$

단계 1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 3 y)}^{6} \cdot 1$

단계 1.2.4.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 7 {(x + 3 y)}^{6}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 {(x + 3 y)}^{6}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [{(x + 3 y)}^{6}]$ 입니다.

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(x + 3 y)}^{6})$

단계 2.2

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = x + 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 2.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 7 (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 42 ({(x + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 2.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 42 {(x + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 42 {(x + 3 y)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 2.3.4

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$f'' (x) = 42 {(x + 3 y)}^{5} (1 + 0)$

단계 2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 42 {(x + 3 y)}^{5} \cdot 1$

단계 2.3.5.2

$42$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 42 {(x + 3 y)}^{5}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $42 {(x + 3 y)}^{5}$ 의 미분은 $42 \frac{d}{d x} [{(x + 3 y)}^{5}]$ 입니다.

$f''' (x) = 42 \frac{d}{d x} ({(x + 3 y)}^{5})$

단계 3.2

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = x + 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 42 (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 3.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 42 (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = 42 (5 {(x + 3 y)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$5$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 210 ({(x + 3 y)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 3.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = 210 {(x + 3 y)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 210 {(x + 3 y)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 3.3.4

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$f''' (x) = 210 {(x + 3 y)}^{4} (1 + 0)$

단계 3.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 210 {(x + 3 y)}^{4} \cdot 1$

단계 3.3.5.2

$210$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 210 {(x + 3 y)}^{4}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$210$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $210 {(x + 3 y)}^{4}$ 의 미분은 $210 \frac{d}{d x} [{(x + 3 y)}^{4}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 210 \frac{d}{d x} ({(x + 3 y)}^{4})$

단계 4.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = x + 3 y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 210 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 4.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 210 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x + 3 y$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 210 (4 {(x + 3 y)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 4.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$4$ 에 $210$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 840 ({(x + 3 y)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 3 y))$

단계 4.3.2

합의 법칙에 의해 $x + 3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = 840 {(x + 3 y)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 4.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 840 {(x + 3 y)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (3 y))$

단계 4.3.4

$3 y$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y$ 입니다.

$f^{4} (x) = 840 {(x + 3 y)}^{3} (1 + 0)$

단계 4.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 840 {(x + 3 y)}^{3} \cdot 1$

단계 4.3.5.2

$840$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 840 {(x + 3 y)}^{3}$