대수 예제

$x = h + r \cos (t)$ , $y = k + r \sin (t)$

단계 1

매개변수 방정식 $x (t)$ 를 세워 방정식 $t$ 을 풉니다.

$x = h + r \cos (t)$

단계 2

$h + r \cos (t) = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$h + r \cos (t) = x$

단계 3

방정식의 양변에서 $h$ 를 뺍니다.

$r \cos (t) = x - h$

단계 4

$r \cos (t) = x - h$ 의 각 항을 $r$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$r \cos (t) = x - h$ 의 각 항을 $r$ 로 나눕니다.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

단계 4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$r$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{r \cos (t)}{r} = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

단계 4.2.1.2

$\cos (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (t) = \frac{x}{r} + \frac{- h}{r}$

단계 4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (t) = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$

단계 5

코사인 안의 $t$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$t = \arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$

단계 6

$x$ 에 대한 방정식을 얻기 위하여 $y$ 의 방정식에서 $t$ 를 바꿉니다.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

단계 7

괄호를 제거합니다.

$y = k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$

단계 8

$k + r \sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ 을 간단히 합니다.

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단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1.1

평면에 $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ , $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\frac{x}{r} - \frac{h}{r}, \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))$ 는 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$ 입니다.

$y = k + r \sqrt{1 - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

단계 8.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = k + r \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{r} - \frac{h}{r})}^{2}}$

단계 8.1.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{r} - \frac{h}{r}$ 입니다.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - (\frac{x}{r} - \frac{h}{r}))}$

단계 8.1.4

간단히 합니다.

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단계 8.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} - - \frac{h}{r})}$

단계 8.1.4.2

$- - \frac{h}{r}$ 을 곱합니다.

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단계 8.1.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + 1 \frac{h}{r})}$

단계 8.1.4.2.2

$\frac{h}{r}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = k + r \sqrt{(1 + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r}{r} + \frac{x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = k + r \sqrt{(\frac{r + x}{r} - \frac{h}{r}) (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{r + x - h}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{r - h + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.8.2

$r$ 와 $- h$ 을 다시 정렬합니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (1 - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.9

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r}{r} - \frac{x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} (\frac{r - x}{r} + \frac{h}{r})}$

단계 8.1.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r - x + h}{r}}$

단계 8.1.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.12.1

$- x$ 를 옮깁니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{r + h - x}{r}}$

단계 8.1.12.2

$r$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{- h + r + x}{r} \cdot \frac{h + r - x}{r}}$

단계 8.1.13

$\frac{- h + r + x}{r}$ 에 $\frac{h + r - x}{r}$ 을 곱합니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r \cdot r}}$

단계 8.1.14

$r$ 에 $r$ 을 곱합니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}}$

단계 8.1.15

$\frac{(- h + r + x) (h + r - x)}{r^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 8.1.15.1

$(- h + r + x) (h + r - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2}}}$

단계 8.1.15.2

$r^{2}$ 에서 완전제곱인 $r^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = k + r \sqrt{\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}}$

단계 8.1.15.3

분수 $\frac{1^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}{r^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = k + r \sqrt{{(\frac{1}{r})}^{2} ((- h + r + x) (h + r - x))}$

단계 8.1.16

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = k + r (\frac{1}{r} \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)})$

단계 8.1.17

$\frac{1}{r}$ 와 $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ 을 묶습니다.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

단계 8.1.18

$r$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.1.18.1

공약수로 약분합니다.

$y = k + r \frac{\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}}{r}$

단계 8.1.18.2

수식을 다시 씁니다.

$y = k + \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$

단계 8.2

$k$ 와 $\sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \sqrt{(- h + r + x) (h + r - x)} + k$