대수 예제

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

단계 1

좌변에서부터 시작합니다.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1}$

단계 2

사인과 코사인으로 바꿉니다.

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단계 2.1

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\tan (x) - 1}$

단계 2.2

삼각함수 항등식을 이용하여 $\tan (x)$ 를 사인과 코사인으로 표현합니다.

$\frac{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

단계 2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분수의 분자와 분모에 ${\cos (x)}^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$ 에 $\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} \cdot \frac{\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1}$

단계 3.1.2

조합합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{3} (\frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} - 1)}{{\cos (x)}^{3} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1)}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.3

소거하고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

${\cos (x)}^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{\cos (x)}^{3} \frac{{\sin (x)}^{3}}{{\cos (x)}^{3}} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.3.2

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

${\cos (x)}^{3}$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{\cos (x) {\cos (x)}^{2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ 을 ${(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{\sin (x)}^{3} + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{3}}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.2

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 합 공식 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \sin (x)$ 이고 $b = \cos (x) \cdot - 1$ 입니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3

간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{(\sin (x) - 1 \cdot \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.2

$- 1 \cos (x)$ 을 $- \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (\cos (x) \cdot - 1) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.3

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- 1 \cdot \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.4

$- 1 \cos (x)$ 을 $- \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} - \sin (x) (- \cos (x)) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.5

$- \sin (x) (- \cos (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + 1 \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.5.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(\cos (x) \cdot - 1)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.6

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1 \cdot \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.7

$- 1 \cos (x)$ 을 $- \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- \cos (x))}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.8

$- \cos (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {(- 1)}^{2} {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.9

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + 1 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.4.3.10

${\cos (x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

${\cos (x)}^{2} \sin (x) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ 에서 ${\cos (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.5.1.1

${\cos (x)}^{2} \sin (x)$ 에서 ${\cos (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{3} \cdot - 1}$

단계 3.5.1.2

${\cos (x)}^{3} \cdot - 1$ 에서 ${\cos (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)}$

단계 3.5.1.3

${\cos (x)}^{2} (\sin (x)) + {\cos (x)}^{2} (\cos (x) \cdot - 1)$ 에서 ${\cos (x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) + \cos (x) \cdot - 1)}$

단계 3.5.2

$\cos (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - 1 \cdot \cos (x))}$

단계 3.5.3

$- 1 \cos (x)$ 을 $- \cos (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(\sin (x) - \cos (x)) ({\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (\sin (x) - \cos (x))}$

단계 3.6

$\sin (x) - \cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

단계 5

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ 로 바꿔 씁니다.

$\tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$

단계 6

양변이 동일함을 보였으므로, 이 방정식은 항등식입니다.

$\frac{\tan^{3} (x) - 1}{\tan (x) - 1} = \tan^{2} (x) + \tan (x) + 1$ 은 항등식입니다