대수 예제

$f (x) = \frac{x - 5}{x^{2} - 25}$

단계 1

함수가 우함수인지, 기함수인지, 아니면 둘 다 아닌지를 판단하여 대칭에 대해 알아냅니다.

1. 기함수의 경우, 함수는 원점에 대해 대칭입니다.

2. 우함수의 경우, 함수는 y축에 대해 대칭입니다.

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x) = \frac{x - 5}{x^{2} - 5^{2}}$

단계 2.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 5$ 입니다.

$f (x) = \frac{x - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

단계 2.2

$x - 5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f (x) = \frac{x - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

단계 2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f (x) = \frac{1}{x + 5}$

단계 3

$f (- x)$ 를 구합니다.

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단계 3.1

$f (x)$ 의 모든 $x$ 을 $- x$ 로 치환하여 $f (- x)$ 을 구합니다.

$f (- x) = \frac{1}{(- x) + 5}$

단계 3.2

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = \frac{1}{- (x) + 5}$

단계 3.3

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = \frac{1}{- (x) - 1 \cdot - 5}$

단계 3.4

$- (x) - 1 (- 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$f (- x) = \frac{1}{- (x - 5)}$

단계 3.5

음수 부분을 다시 씁니다.

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단계 3.5.1

$- (x - 5)$ 을 $- 1 (x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- x) = \frac{1}{- 1 (x - 5)}$

단계 3.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- x) = - \frac{1}{x - 5}$

단계 4

$f (- x) = f (x)$ 인 경우 함수는 우함수입니다.

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단계 4.1

$f (- x) = f (x)$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$- \frac{1}{x - 5}$ $\neq$ $\frac{1}{x + 5}$ 이므로 이 함수는 우함수가 아닙니다.

이 함수는 우함수가 아님

단계 5

$f (- x) = - f (x)$ 인 경우 함수는 기함수입니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $\frac{1}{x + 5}$ 을 곱합니다.

$- f (x) = - \frac{1}{x + 5}$

단계 5.2

$- \frac{1}{x - 5}$ $\neq$ $- \frac{1}{x + 5}$ 이므로 이 함수는 기함수가 아닙니다.

이 함수는 기함수가 아님

단계 6

이 함수는 우함수도 기함수도 아님

단계 7

함수가 기함수가 아니므로, 원점에 대해 대칭이 아닙니다.

원점 대칭 아님

단계 8

함수가 우함수가 아니므로, y축에 대해 대칭이 아닙니다.

y축 대칭 없음

단계 9

함수가 기함수도 아니고 우함수도 아니므로, 원점/y축에 대해 대칭이 아닙니다.

함수가 대칭이 아님

단계 10