대수 예제

$f (x) = 11 x^{3} + 126 x^{2} + 56 x + 11$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 11$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{11}, \pm 11$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$11 {(- 11)}^{3} + 126 {(- 11)}^{2} + 56 (- 11) + 11$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = - 11$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$- 11$ 를 $3$ 승 합니다.

$11 \cdot - 1331 + 126 {(- 11)}^{2} + 56 (- 11) + 11$

단계 4.1.2

$11$ 에 $- 1331$ 을 곱합니다.

$- 14641 + 126 {(- 11)}^{2} + 56 (- 11) + 11$

단계 4.1.3

$- 11$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 14641 + 126 \cdot 121 + 56 (- 11) + 11$

단계 4.1.4

$126$ 에 $121$ 을 곱합니다.

$- 14641 + 15246 + 56 (- 11) + 11$

단계 4.1.5

$56$ 에 $- 11$ 을 곱합니다.

$- 14641 + 15246 - 616 + 11$

단계 4.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 14641$ 를 $15246$ 에 더합니다.

$605 - 616 + 11$

단계 4.2.2

$605$ 에서 $616$ 을 뺍니다.

$- 11 + 11$

단계 4.2.3

$- 11$ 를 $11$ 에 더합니다.

$0$

단계 5

$- 11$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x + 11$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{11 x^{3} + 126 x^{2} + 56 x + 11}{x + 11}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$

단계 6.2

피제수 $(11)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$

	$11$

단계 6.3

제수 $(- 11)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(11)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 121)$ 을 피제수 $(126)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$
		$- 121$
	$11$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$
		$- 121$
	$11$	$5$

단계 6.5

제수 $(- 11)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(5)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 55)$ 을 피제수 $(56)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$
		$- 121$	$- 55$
	$11$	$5$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$
		$- 121$	$- 55$
	$11$	$5$	$1$

단계 6.7

제수 $(- 11)$ 에 결과의 가장 최근 값 $(1)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 11)$ 을 피제수 $(11)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$
		$- 121$	$- 55$	$- 11$
	$11$	$5$	$1$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$- 11$	$11$	$126$	$56$	$11$
		$- 121$	$- 55$	$- 11$
	$11$	$5$	$1$	$0$

단계 6.9

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$11 x^{2} + 5 x + 1$

단계 7

방정식을 풀어 나머지 근을 구합니다.

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단계 7.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 7.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 11$ , $b = 5$ , $c = 1$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (11 \cdot 1)}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 11 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.1.2

$- 4 \cdot 11 \cdot 1$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.2.1

$- 4$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 44 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.1.2.2

$- 44$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 44}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.1.3

$25$ 에서 $44$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.1.4

$- 19$ 을 $- 1 (19)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (19)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.3.2

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.4

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.4.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 11 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.1.2

$- 4 \cdot 11 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1.2.1

$- 4$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 44 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.1.2.2

$- 44$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 44}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.1.3

$25$ 에서 $44$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.1.4

$- 19$ 을 $- 1 (19)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (19)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.4.2

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.4.3

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.4.4

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.4.5

$i \sqrt{19}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{19})}{22}$

단계 7.4.6

$- 1 (5) - (- i \sqrt{19})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{19})}{22}$

단계 7.4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 11 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.1.2

$- 4 \cdot 11 \cdot 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1.2.1

$- 4$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 44 \cdot 1}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.1.2.2

$- 44$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 44}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.1.3

$25$ 에서 $44$ 을 뺍니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.1.4

$- 19$ 을 $- 1 (19)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (19)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 11}$

단계 7.5.2

$2$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.5.3

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.5.4

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.5.5

$- i \sqrt{19}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{19})}{22}$

단계 7.5.6

$- 1 (5) - (i \sqrt{19})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{19})}{22}$

단계 7.5.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{19}}{22}$

단계 7.6

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{19}}{22}, - \frac{5 + i \sqrt{19}}{22}$

단계 8

다항식은 선형 인자의 집합으로 표현할 수 있습니다.

$(x + 11) (x + \frac{5 - i \sqrt{19}}{22}) (x + \frac{5 + i \sqrt{19}}{22})$

단계 9

다항식 $11 x^{3} + 126 x^{2} + 56 x + 11$ 의 근(해)입니다.

$x = - 11, - \frac{5 - i \sqrt{19}}{22}, - \frac{5 + i \sqrt{19}}{22}$

단계 10