대수 예제

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$

단계 1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

단계 3

다항식에 해로 생각되는 값을 대입하여 해를 알아냅니다. 계산값이 $0$ 라면 대입값이 해임을 의미합니다.

$2 {(\frac{1}{2})}^{6} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4

식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $x = \frac{1}{2}$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \frac{1^{6}}{2^{6}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 \frac{1}{2^{6}} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.3

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$2 (\frac{1}{64}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$64$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{1}{2 (32)} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{1}{2 \cdot 32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{32} - 3 {(\frac{1}{2})}^{5} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{32} - 3 \frac{1^{5}}{2^{5}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{32} - 3 \frac{1}{2^{5}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.7

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{1}{32} - 3 (\frac{1}{32}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.8

$- 3$ 와 $\frac{1}{32}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} + \frac{- 3}{32} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 {(\frac{1}{2})}^{4} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.10

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.11

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 \frac{1}{2^{4}} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.12

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - 13 (\frac{1}{16}) + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.13

$- 13$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} + \frac{- 13}{16} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 {(\frac{1}{2})}^{3} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.15

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.16

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 \frac{1}{2^{3}} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.17

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + 29 (\frac{1}{8}) - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.18

$29$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 {(\frac{1}{2})}^{2} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.19

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.20

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 \frac{1}{2^{2}} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.21

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - 27 (\frac{1}{4}) + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.22

$- 27$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.23

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 32 (\frac{1}{2}) - 12$

단계 4.1.24

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.24.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 2 (16) \frac{1}{2} - 12$

단계 4.1.24.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 2 \cdot 16 \frac{1}{2} - 12$

단계 4.1.24.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{32} - \frac{3}{32} - \frac{13}{16} + \frac{29}{8} - \frac{27}{4} + 16 - 12$

단계 4.2

분수를 통분합니다.

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단계 4.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$16 - 12 + \frac{1 - 3}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.2.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$16 - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3

공통분모를 구합니다.

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단계 4.3.1

$16$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{16}{1} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.2

$\frac{16}{1}$ 에 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{1} \cdot \frac{32}{32} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.3

$\frac{16}{1}$ 에 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} - 12 + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.4

$- 12$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12}{1} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.5

$\frac{- 12}{1}$ 에 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.6

$\frac{- 12}{1}$ 에 $\frac{32}{32}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.7

$\frac{- 13}{16}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.8

$\frac{- 13}{16}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29}{8} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.9

$\frac{29}{8}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.10

$\frac{29}{8}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27}{4}$

단계 4.3.11

$\frac{- 27}{4}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27}{4} \cdot \frac{8}{8}$

단계 4.3.12

$\frac{- 27}{4}$ 에 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

단계 4.3.13

$16 \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

단계 4.3.14

$2$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

단계 4.3.15

$8 \cdot 4$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

단계 4.3.16

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{32} + \frac{- 27 \cdot 8}{4 \cdot 8}$

단계 4.3.17

$4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 \cdot 32}{32} + \frac{- 12 \cdot 32}{32} + \frac{- 2}{32} + \frac{- 13 \cdot 2}{32} + \frac{29 \cdot 4}{32} + \frac{- 27 \cdot 8}{32}$

단계 4.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16 \cdot 32 - 12 \cdot 32 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

단계 4.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$16$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{512 - 12 \cdot 32 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

단계 4.5.2

$- 12$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{512 - 384 - 2 - 13 \cdot 2 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

단계 4.5.3

$- 13$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 29 \cdot 4 - 27 \cdot 8}{32}$

단계 4.5.4

$29$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 116 - 27 \cdot 8}{32}$

단계 4.5.5

$- 27$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{512 - 384 - 2 - 26 + 116 - 216}{32}$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$512$ 에서 $384$ 을 뺍니다.

$\frac{128 - 2 - 26 + 116 - 216}{32}$

단계 4.6.2

$128$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{126 - 26 + 116 - 216}{32}$

단계 4.6.3

$126$ 에서 $26$ 을 뺍니다.

$\frac{100 + 116 - 216}{32}$

단계 4.6.4

$100$ 를 $116$ 에 더합니다.

$\frac{216 - 216}{32}$

단계 4.6.5

$216$ 에서 $216$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{32}$

단계 4.6.6

$0$ 을 $32$ 로 나눕니다.

$0$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 는 이미 구한 해이므로 다항식을 $x - \frac{1}{2}$ 으로 나누어 몫 다항식을 알아냅니다. 이 다항식은 다른 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{x - \frac{1}{2}}$

단계 6

그 다음, 나머지 다항식의 근을 구합니다. 다항식의 차수는 $1$ 만큼 줄었습니다.

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단계 6.1

제수와 피제수에 해당하는 숫자를 나눗셈 형태로 나타냅니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$

단계 6.2

피제수 $(2)$ 의 첫 번째 수는 결과 부분(가로 선 아래)에 첫 번째로 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$

	$2$

단계 6.3

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(2)$ 을 곱하여 나온 값 $(1)$ 을 피제수 $(- 3)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$
	$2$

단계 6.4

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$
	$2$	$- 2$

단계 6.5

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 2)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 1)$ 을 피제수 $(- 13)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$

단계 6.6

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$
	$2$	$- 2$	$- 14$

단계 6.7

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 14)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 7)$ 을 피제수 $(29)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$
	$2$	$- 2$	$- 14$

단계 6.8

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$

단계 6.9

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(22)$ 을 곱하여 나온 값 $(11)$ 을 피제수 $(- 27)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$

단계 6.10

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$

단계 6.11

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(- 16)$ 을 곱하여 나온 값 $(- 8)$ 을 피제수 $(32)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$

단계 6.12

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$

단계 6.13

제수 $(\frac{1}{2})$ 에 결과의 가장 최근 값 $(24)$ 을 곱하여 나온 값 $(12)$ 을 피제수 $(- 12)$ 의 다음 항 아래에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$	$12$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$

단계 6.14

곱셈값과 피제수의 숫자의 곱을 더하고 그 결과를 결과 열의 다음 위치에 적습니다.

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 3$	$- 13$	$29$	$- 27$	$32$	$- 12$
		$1$	$- 1$	$- 7$	$11$	$- 8$	$12$
	$2$	$- 2$	$- 14$	$22$	$- 16$	$24$	$0$

단계 6.15

마지막 수를 제외한 모든 수는 몫 다항식의 계수가 됩니다. 결과열의 마지막 값이 나머지입니다.

$2 x^{5} + - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} + (- 16) x + 24$

단계 6.16

몫 다항식을 간단히 합니다.

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24$

단계 7

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2 x^{5}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) - 2 x^{4} - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

단계 7.2

$- 2 x^{4}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) - 14 x^{3} + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

단계 7.3

$- 14 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 22 x^{2} - 16 x + 24)$

단계 7.4

$22 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) - 16 x + 24)$

단계 7.5

$- 16 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 24)$

단계 7.6

$24$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

단계 7.7

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

단계 7.8

$2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 7 x^{3})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

단계 7.9

$2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3}) + 2 (11 x^{2})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (12))$

단계 7.10

$2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2}) + 2 (- 8 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) + 2 (12))$

단계 7.11

$2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x) + 2 (12)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12))$

단계 8

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

유리근 정리르 이용하여 $2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

단계 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

단계 8.1.3

$0.5$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $0.5$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.3.1

$0.5$ 을 다항식에 대입합니다.

$2 \cdot {0.5}^{6} - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.2

$0.5$ 를 $6$ 승 합니다.

$2 \cdot 0.015625 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.3

$2$ 에 $0.015625$ 을 곱합니다.

$0.03125 - 3 \cdot {0.5}^{5} - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.4

$0.5$ 를 $5$ 승 합니다.

$0.03125 - 3 \cdot 0.03125 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.5

$- 3$ 에 $0.03125$ 을 곱합니다.

$0.03125 - 0.09375 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.6

$0.03125$ 에서 $0.09375$ 을 뺍니다.

$- 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{4} + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.7

$0.5$ 를 $4$ 승 합니다.

$- 0.0625 - 13 \cdot 0.0625 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.8

$- 13$ 에 $0.0625$ 을 곱합니다.

$- 0.0625 - 0.8125 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.9

$- 0.0625$ 에서 $0.8125$ 을 뺍니다.

$- 0.875 + 29 \cdot {0.5}^{3} - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.10

$0.5$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 0.875 + 29 \cdot 0.125 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.11

$29$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$- 0.875 + 3.625 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.12

$- 0.875$ 를 $3.625$ 에 더합니다.

$2.75 - 27 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.13

$0.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$2.75 - 27 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.14

$- 27$ 에 $0.25$ 을 곱합니다.

$2.75 - 6.75 + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.15

$2.75$ 에서 $6.75$ 을 뺍니다.

$- 4 + 32 \cdot 0.5 - 12$

단계 8.1.3.16

$32$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$- 4 + 16 - 12$

단계 8.1.3.17

$- 4$ 를 $16$ 에 더합니다.

$12 - 12$

단계 8.1.3.18

$12$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$0$

단계 8.1.4

$0.5$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $2 x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12}{2 x - 1}$

단계 8.1.5

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ 을 $2 x - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

단계 8.1.5.2

피제수 $2 x^{6}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$x^{5}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$

단계 8.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

단계 8.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{6} - x^{5}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

단계 8.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

단계 8.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$x^{5}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

단계 8.1.5.7

피제수 $- 2 x^{5}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$x^{5}$	-	$x^{4}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{6}$	-	$3 x^{5}$	-	$13 x^{4}$	+	$29 x^{3}$	-	$27 x^{2}$	+	$32 x$	-	$12$
			-	$2 x^{6}$	+	$x^{5}$
					-	$2 x^{5}$	-	$13 x^{4}$

단계 8.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

단계 8.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 2 x^{5} + x^{4}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

단계 8.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

단계 8.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

단계 8.1.5.12

피제수 $- 14 x^{4}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

단계 8.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

단계 8.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 14 x^{4} + 7 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

단계 8.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

단계 8.1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

단계 8.1.5.17

피제수 $22 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

단계 8.1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

단계 8.1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $22 x^{3} - 11 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

단계 8.1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

단계 8.1.5.21

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

단계 8.1.5.22

피제수 $- 16 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

단계 8.1.5.23

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

단계 8.1.5.24

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 16 x^{2} + 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

단계 8.1.5.25

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

단계 8.1.5.26

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

단계 8.1.5.27

피제수 $24 x$ 의 고차항을 제수 $2 x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

단계 8.1.5.28

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

단계 8.1.5.29

식을 피제수에서 빼야 하므로 $24 x - 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

단계 8.1.5.30

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{5}$

$x^{4}$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$8 x$

$12$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$3 x^{5}$

$13 x^{4}$

$29 x^{3}$

$27 x^{2}$

$32 x$

$12$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$2 x^{5}$

$13 x^{4}$

$2 x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$29 x^{3}$

$14 x^{4}$

$7 x^{3}$

$22 x^{3}$

$27 x^{2}$

$22 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x^{2}$

$32 x$

$16 x^{2}$

$8 x$

$24 x$

$12$

$24 x$

$12$

$0$

단계 8.1.5.31

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12$

단계 8.1.6

$2 x^{6} - 3 x^{5} - 13 x^{4} + 29 x^{3} - 27 x^{2} + 32 x - 12$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 7 x^{3} + 11 x^{2} - 8 x + 12) = 0$

단계 8.2

항을 다시 묶습니다.

$(2 x - 1) (x^{5} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.3

$x^{5} - x^{4} - 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$x^{5}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} - x^{4} - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.3.2

$- x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) - 8 x - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.3.3

$- 8 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (- x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.3.4

$x \cdot x^{4} + x (- x^{3})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8 - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.3.5

$x (x^{4} - x^{3}) + x \cdot - 8$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) (x (x^{4} - x^{3} - 8) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

유리근 정리르 이용하여 $x^{4} - x^{3} - 8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 8.4.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

단계 8.4.1.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{4} - 2^{3} - 8$

단계 8.4.1.3.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$16 - 2^{3} - 8$

단계 8.4.1.3.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$16 - 1 \cdot 8 - 8$

단계 8.4.1.3.4

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$16 - 8 - 8$

단계 8.4.1.3.5

$16$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$8 - 8$

단계 8.4.1.3.6

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$0$

단계 8.4.1.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 8}{x - 2}$

단계 8.4.1.5

$x^{4} - x^{3} - 8$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

단계 8.4.1.5.2

피제수 $x^{4}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

단계 8.4.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 8.4.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{4} - 2 x^{3}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

단계 8.4.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

단계 8.4.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 8.4.1.5.7

피제수 $x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

단계 8.4.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

단계 8.4.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{3} - 2 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

단계 8.4.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

단계 8.4.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

단계 8.4.1.5.12

피제수 $2 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

단계 8.4.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

단계 8.4.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 x^{2} - 4 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

단계 8.4.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

단계 8.4.1.5.16

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

단계 8.4.1.5.17

피제수 $4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

단계 8.4.1.5.18

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

단계 8.4.1.5.19

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x - 8$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

단계 8.4.1.5.20

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

단계 8.4.1.5.21

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$x^{3} + x^{2} + 2 x + 4$

단계 8.4.1.6

$x^{4} - x^{3} - 8$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 1) (x ((x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12) = 0$

단계 8.5

유리근 정리르 이용하여 $- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 7$

단계 8.5.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 12, \pm 1.\overline{714285}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 6, \pm 0.\overline{857142}, \pm 3, \pm 0.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}$

단계 8.5.3

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.1

$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 7 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} + 12$

단계 8.5.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 7 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

단계 8.5.3.3

$- 7$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 56 + 11 \cdot 2^{2} + 12$

단계 8.5.3.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 56 + 11 \cdot 4 + 12$

단계 8.5.3.5

$11$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 56 + 44 + 12$

단계 8.5.3.6

$- 56$ 를 $44$ 에 더합니다.

$- 12 + 12$

단계 8.5.3.7

$- 12$ 를 $12$ 에 더합니다.

$0$

단계 8.5.4

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12}{x - 2}$

단계 8.5.5

$- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$2$

$7 x^{3}$

$11 x^{2}$

$0 x$

$12$

단계 8.5.5.2

피제수 $- 7 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$

단계 8.5.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			-	$7 x^{3}$	+	$14 x^{2}$

단계 8.5.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 7 x^{3} + 14 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$

단계 8.5.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

단계 8.5.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

단계 8.5.5.7

피제수 $- 3 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$

단계 8.5.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

단계 8.5.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 3 x^{2} + 6 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

단계 8.5.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$

단계 8.5.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

단계 8.5.5.12

피제수 $- 6 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$

단계 8.5.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

단계 8.5.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 x + 12$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

단계 8.5.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$7 x^{2}$	-	$3 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$0 x$	+	$12$
			+	$7 x^{3}$	-	$14 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

단계 8.5.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- 7 x^{2} - 3 x - 6$

단계 8.5.6

$- 7 x^{3} + 11 x^{2} + 12$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(2 x - 1) (x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.6

$x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$x (x - 2) (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.6.2

$(x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (- 7 x^{2} - 3 x - 6)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x (x^{3} + x^{2} + 2 x + 4) - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.7

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.1.1

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.1.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{1 + 3} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.1.2

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.2.1

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.2.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 4 - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.8.4

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x \cdot x + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.9.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 \cdot x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 7 x^{2} - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.10

$2 x^{2}$ 에서 $7 x^{2}$ 을 뺍니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 3 x - 6)) = 0$

단계 8.11

$4 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.11.1

$4 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$(2 x - 1) ((x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6)) = 0$

단계 8.11.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$

단계 9

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

단계 10

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 10.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 10.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 10.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 10.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 11

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 11.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 12

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$

단계 12.2

$x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.1

항을 다시 묶습니다.

$x^{3} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

단계 12.2.1.2

$x^{3} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.2.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

단계 12.2.1.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x \cdot x^{2} + x + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

단계 12.2.1.2.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

단계 12.2.1.2.4

$x \cdot x^{2} + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$x (x^{2} + 1) + x^{4} - 5 x^{2} - 6 = 0$

단계 12.2.1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 6 = 0$

단계 12.2.1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$x (x^{2} + 1) + u^{2} - 5 u - 6 = 0$

단계 12.2.1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 5 u - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 6, 1$

단계 12.2.1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$x (x^{2} + 1) + (u - 6) (u + 1) = 0$

단계 12.2.1.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

단계 12.2.1.7

$x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.7.1

$x (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} - 6) (x^{2} + 1) = 0$

단계 12.2.1.7.2

$(x^{2} - 6) (x^{2} + 1)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6) = 0$

단계 12.2.1.7.3

$(x^{2} + 1) x + (x^{2} + 1) (x^{2} - 6)$ 에서 $x^{2} + 1$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} + 1) (x + x^{2} - 6) = 0$

단계 12.2.1.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 1) (u + u^{2} - 6) = 0$

단계 12.2.1.9

AC 방법을 이용하여 $u + u^{2} - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.9.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 2, 3$

단계 12.2.1.9.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x^{2} + 1) ((u - 2) (u + 3)) = 0$

단계 12.2.1.10

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1.10.1

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} + 1) ((x - 2) (x + 3)) = 0$

단계 12.2.1.10.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$

단계 12.2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

단계 12.2.3

$x^{2} + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.1

$x^{2} + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} + 1 = 0$

단계 12.2.3.2

$x^{2} + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 1$

단계 12.2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

단계 12.2.3.2.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i$

단계 12.2.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = i$

단계 12.2.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - i$

단계 12.2.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i$

단계 12.2.4

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.4.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 12.2.4.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 12.2.5

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.5.1

$x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 3 = 0$

단계 12.2.5.2

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

단계 12.2.6

$(x^{2} + 1) (x - 2) (x + 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = i, - i, 2, - 3$

단계 13

$(2 x - 1) (x - 2) (x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + x - 6) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, 2, i, - i, - 3$

단계 14