대수 예제

${(1 + 2 i)}^{4}$

단계 1

이항정리를 이용해 각 항을 구합니다. 이항정리에 의하면 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 입니다.

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(2 i)}^{k}$

단계 2

합을 전개합니다.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(2 i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(2 i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(2 i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(2 i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 3

전개한 각 항에 대해 지수를 간단히 합니다.

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4

다항식 결과를 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

지수를 더하여 $1$ 에 ${(1)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1

$1$ 에 ${(1)}^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1.1.1

$1$ 를 $1$ 승 합니다.

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1^{1 + 4} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.1.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$1^{5} \cdot {(2 i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.2

$1^{5} \cdot {(2 i)}^{0}$ 을 간단히 합니다.

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 4 \cdot {(2 i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.6

간단히 합니다.

$1 + 4 \cdot (2 i) + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.9

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot {(2 i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.10

$2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot (2^{2} i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.11

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 i^{2}) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.12

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot (4 \cdot - 1) + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.13

$6 (4 \cdot - 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.13.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i + 6 \cdot - 4 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.13.2

$6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.14

지수값을 계산합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot 1 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.15

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot {(2 i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.16

$2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (2^{3} i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.17

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 i^{3}) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.18

$i^{2}$ 로 인수분해합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (i^{2} \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.19

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- 1 \cdot i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.20

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (8 (- i)) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.21

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 24 + 4 \cdot (- 8 i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.22

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.23

지수를 더하여 $1$ 에 ${(1)}^{0}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.23.1

$1$ 에 ${(1)}^{0}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.23.1.1

$1$ 를 $1$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.23.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1 + 0} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.23.2

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.24

$1^{1} \cdot {(2 i)}^{4}$ 을 간단히 합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + {(2 i)}^{4}$

단계 4.1.25

$2 i$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 2^{4} i^{4}$

단계 4.1.26

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 i^{4}$

단계 4.1.27

$i^{4}$ 을 $1$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.27.1

$i^{4}$ 을 ${(i^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(i^{2})}^{2}$

단계 4.1.27.2

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 {(- 1)}^{2}$

단계 4.1.27.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16 \cdot 1$

단계 4.1.28

$16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 8 i - 24 - 32 i + 16$

단계 4.2

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 23 + 8 i - 32 i + 16$

단계 4.2.2

$- 23$ 를 $16$ 에 더합니다.

$- 7 + 8 i - 32 i$

단계 4.2.3

$8 i$ 에서 $32 i$ 을 뺍니다.

$- 7 - 24 i$