대수 예제

$\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ 을(를) ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 1.10

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 1.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 1.12

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 1.13

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

단계 1.14

$2 x - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

단계 1.15

간단히 합니다.

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단계 1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.15.2

$2 x - 5$ 에 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 x - 5}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 2.2

$f (x) = 2 x - 5$ , $g (x) = {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.3

${({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.4

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x - 5) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

합의 법칙에 의해 $2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} (- 5)) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.5.6.2

${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.6.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.11

분수를 통분합니다.

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단계 2.11.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.11.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.11.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 5 x + 9))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.12

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.14

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.16

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + \frac{d}{d x} (9)))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.17

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5 + 0))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.18

$2 x - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 5))}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.19

$2 x - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.20

$2 x - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - (2 x - 5) (2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{1 + 1} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.22

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2} \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.23

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${(2 x - 5)}^{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.24

공통 분모를 가지는 분수로 $2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.25

$2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.27

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.28

지수를 더하여 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.28.1

${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 ({(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.28.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.28.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.28.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.28.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.29

$4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$

단계 2.30

$\frac{\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 5 x + 9}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 5 x + 9})$

단계 2.31

$\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 9}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 5 x + 9)}$

단계 2.32

$x^{2} - 5 x + 9$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 ((x^{2} - 5 x + 9) {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 2.33

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 2.34

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.34.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 2.34.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 2.34.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.35

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{2 (2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}})}$

단계 2.36

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 5 x + 9) - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 (- 5 x) + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1.1

$- 5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 4 \cdot 9 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.2

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - {(2 x - 5)}^{2}}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.3

${(2 x - 5)}^{2}$ 을 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - ((2 x - 5) (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x - 5) (2 x - 5)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5))}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1.5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.1.4

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.1.5

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.1.6

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.5.2

$- 10 x$ 에서 $10 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2} - 20 x + 25)}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - (4 x^{2}) - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.1.7.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} - (- 20 x) - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.7.2

$- 20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 1 \cdot 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.1.7.3

$- 1$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.2

$4 x^{2} - 20 x + 36 - 4 x^{2} + 20 x - 25$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.37.2.2.1

$4 x^{2}$ 에서 $4 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 0 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.2.2

$- 20 x + 36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 20 x + 36 + 20 x - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.2.3

$- 20 x$ 를 $20 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{0 + 36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.2.4

$0$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{36 - 25}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.37.2.3

$36$ 에서 $25$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{11}{4 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ 을(를) ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 5 x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 5 x + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x + 9]$

단계 4.1.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 5 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 4.1.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 4.1.10

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 4.1.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 4.1.12

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [9])$

단계 4.1.13

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5 + 0)$

단계 4.1.14

$2 x - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$

단계 4.1.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.15.1

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x - 5) \frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.1.15.2

$2 x - 5$ 에 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 5.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2 x - 5}{2 {(x^{2} - 5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 5.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x - 5 = 0$

단계 5.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$2 x = 5$

단계 5.3.2

$2 x = 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$2 x = 5$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

단계 5.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

단계 5.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 6

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 7

계산할 임계점.

$x = \frac{5}{2}$

단계 8

$x = \frac{5}{2}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{11}{4 {({(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.1.4

$- 5 (\frac{5}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1.4.1

$- 5$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.1.4.2

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.1.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.2.1

$\frac{25}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2.2

$\frac{25}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2.3

$9$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2.4

$\frac{9}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2.5

$\frac{9}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.2.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.4.1

$- 25$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.4.2

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{25 - 50 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.5

$25$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{- 25 + 36}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.6

$- 25$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{11}{4 {(\frac{11}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.1.7

$\frac{11}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

단계 9.1.8

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.8.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

단계 9.1.8.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

단계 9.1.8.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.8.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

단계 9.1.8.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{2^{3}}}$

단계 9.1.8.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{11}{4 \frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

단계 9.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$4$ 와 $\frac{11^{\frac{3}{2}}}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}}$

단계 9.2.2

공약수를 소거하여 수식 $\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{8}$ 을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{11}{\frac{4 (11^{\frac{3}{2}})}{8}}$

단계 9.2.2.2

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

단계 9.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{11}{\frac{4 \cdot 11^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}}$

단계 9.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{11}{\frac{11^{\frac{3}{2}}}{2}}$

단계 9.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.4

$11 \frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$11$ 와 $\frac{2}{11^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{11 \cdot 2}{11^{\frac{3}{2}}}$

단계 9.4.2

$11$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{22}{11^{\frac{3}{2}}}$

단계 10

이계도함수가 양수이므로 $x = \frac{5}{2}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = \frac{5}{2}$ 은 극소값입니다.

단계 11

$x = \frac{5}{2}$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

단계 11.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

단계 11.2.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{2^{2}} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

단계 11.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9}$

단계 11.2.4

$- 5 (\frac{5}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.4.1

$- 5$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9}$

단계 11.2.4.2

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9}$

단계 11.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9}$

단계 11.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{25}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2} + 9}$

단계 11.2.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.7.1

$\frac{25}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9}$

단계 11.2.7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + 9}$

단계 11.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 25 \cdot 2}{4} + 9}$

단계 11.2.9

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.9.1

$- 25$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{25 - 50}{4} + 9}$

단계 11.2.9.2

$25$ 에서 $50$ 을 뺍니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9}$

단계 11.2.10

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}}$

단계 11.2.11

$9$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}}$

단계 11.2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 9 \cdot 4}{4}}$

단계 11.2.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.13.1

$9$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{- 25 + 36}{4}}$

단계 11.2.13.2

$- 25$ 를 $36$ 에 더합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \sqrt{\frac{11}{4}}$

단계 11.2.14

$\sqrt{\frac{11}{4}}$ 을 $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{4}}$

단계 11.2.15

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.15.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2^{2}}}$

단계 11.2.15.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{\sqrt{11}}{2}$

단계 11.2.16

최종 답은 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ 입니다.

$y = \frac{\sqrt{11}}{2}$

단계 12

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 5 x + 9}$ 에 대한 극값입니다.

$(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{11}}{2})$ 은 극솟값임

단계 13