대수 예제

$x y^{6} - y = x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d y} (x y^{6} - y) = \frac{d}{d y} (x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x y^{6} - y$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [x y^{6}] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d y} [x y^{6}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (y) = x$ , $g (y) = y^{6}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 는 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d y} [y^{6}] + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (6 y^{5}) + y^{6} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x (6 y^{5}) + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$6 x y^{5} + y^{6} x' + \frac{d}{d y} [- y]$

단계 2.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$6 x y^{5} + y^{6} x' - \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1 \cdot 1$

단계 2.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x y^{5} + y^{6} x' - 1$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1$

단계 3

$\frac{d}{d y} [x]$ 을 $x'$ 로 바꿔 씁니다.

$x'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 = x'$

단계 5

$x'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에서 $x'$ 를 뺍니다.

$6 y^{5} x + y^{6} x' - 1 - x' = 0$

단계 5.2

$x'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $6 y^{5} x$ 를 뺍니다.

$y^{6} x' - 1 - x' = - 6 y^{5} x$

단계 5.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y^{6} x' - x' = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.3

$y^{6} x' - x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$y^{6} x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' y^{6} - x' = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.3.2

$- x'$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' y^{6} + x' \cdot - 1 = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.3.3

$x' y^{6} + x' \cdot - 1$ 에서 $x'$ 를 인수분해합니다.

$x' (y^{6} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.4

$y^{6}$ 을 ${(y^{2})}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.5

$1$ 을 $1^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x' ({(y^{2})}^{3} - 1^{3}) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.6

두 항 모두 완전세제곱식이므로 세제곱의 차 공식 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y^{2}$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x' ((y^{2} - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.7

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x' ((y^{2} - 1^{2}) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.7.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} \cdot 1 + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.7.1.3

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x' ((y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2})) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.7.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1^{2}) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.8

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$

단계 5.9

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ 의 각 항을 $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1) = - 6 y^{5} x + 1$ 의 각 항을 $(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)$ 로 나눕니다.

$\frac{x' (y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

$y + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.9.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{(y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.2.2

$y - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.9.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.2.3

${(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x' ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}{{(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1} = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.2.3.2

$x'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.1.1

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.2

인수분해된 형태로 $y^{4} + y^{2} + 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.1.2.1

중간항을 다시 씁니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.2.2

항을 다시 배열합니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.2.3

완전제곱 법칙에 따라 처음 세 항을 인수분해합니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.2.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y^{2} + 1$ 이고 $b = y$ 입니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.1.2.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.1.2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

$x' = \frac{- 6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2})}^{2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.3.1

${(y^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2 \cdot 2} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.3.2

인수분해된 형태로 $y^{4} + y^{2} + 1$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.3.2.1

중간항을 다시 씁니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1)}$

단계 5.9.3.1.3.2.2

항을 다시 배열합니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2})}$

단계 5.9.3.1.3.2.3

완전제곱 법칙에 따라 처음 세 항을 인수분해합니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2})}$

단계 5.9.3.1.3.2.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y^{2} + 1$ 이고 $b = y$ 입니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y))}$

단계 5.9.3.1.3.2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.3.2.5.1

항을 다시 정렬합니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y))}$

단계 5.9.3.1.3.2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1))}$

$x' = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

단계 6

$x'$ 에 $\frac{d x}{d y}$ 를 대입합니다.

$\frac{d x}{d y} = - \frac{6 y^{5} x}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} + \frac{1}{(y + 1) (y - 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$