대수 예제

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

단계 1

함수의 1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

$20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 의 미분은 $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ 입니다.

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ 을 ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 가 됩니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

단계 1.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

단계 1.3.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 에 더합니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

단계 1.3.5

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 e^{- 3 x}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 입니다.

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

단계 1.3.6

$9$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 1.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

단계 1.5

미분합니다.

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단계 1.5.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.5.2

$- 3$ 에 $- 180$ 을 곱합니다.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

단계 1.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

단계 1.5.4

$e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

단계 1.6

간단히 합니다.

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단계 1.6.1

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

단계 1.6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

단계 1.6.3

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 와 $540$ 을 묶습니다.

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

단계 1.6.3.2

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 와 $e^{- 3 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

단계 2

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 2.1

$540$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ 의 미분은 $540 \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}]$ 입니다.

$f'' (x) = 540 \frac{d}{d x} (\frac{e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}})$

단계 2.2

$f (x) = e^{- 3 x}$ , $g (x) = {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2})}^{2}})$

단계 2.3

${({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2 \cdot 2}})$

단계 2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.4.3

$u_{1}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} x) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} \cdot - 3 - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.5.3.2

${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 \cdot ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}) - e^{- 3 x} \frac{d}{d x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - e^{- 3 x} (2 (1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7

미분합니다.

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단계 2.7.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7.2

합의 법칙에 의해 $1 + 9 e^{- 3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (0 + \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7.4

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7.5

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 e^{- 3 x}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (9 \frac{d}{d x} (e^{- 3 x})))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.6.1

$1 + 9 e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 2 e^{- 3 x} (9 \cdot (1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.7.6.2

$9$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.8

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d u (3)} (e^{u_{3}}) \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.8.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 은 $a^{u_{3}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.8.3

$u_{3}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} (- 3 x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 3 x - 3 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (- 3 x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.10

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} (- 3 x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.11

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} - 18 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (- 3 \frac{d}{d x} x))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.12

$- 3$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} (x)))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} ((1 + 9 e^{- 3 x}) \cdot 1)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.14

분수를 통분합니다.

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단계 2.14.1

$1 + 9 e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 540 (\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}})$

단계 2.14.2

$540$ 와 $\frac{- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} (1 + 9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15

간단히 합니다.

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단계 2.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x} + 54 e^{- 6 x} \cdot 1 + 54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.15.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.15.3.1.1

${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}$ 을 $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 ((1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ 를 전개합니다.

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단계 2.15.3.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 \cdot 1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} (1 + 9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 \cdot 1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.3.1.1

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 1 (9 e^{- 3 x}) + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.2

$9 e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} \cdot 1 + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} (9 e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 3 x} e^{- 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.5

지수를 더하여 $e^{- 3 x}$ 에 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.3.1.5.1

$e^{- 3 x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}))) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 3 x - 3 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.5.3

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 9 \cdot (9 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.1.6

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 9 e^{- 3 x} + 9 e^{- 3 x} + 81 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.3.2

$9 e^{- 3 x}$ 를 $9 e^{- 3 x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 (1 + 18 e^{- 3 x} + 81 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 \cdot 1 - 3 (18 e^{- 3 x}) - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.5.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 3 (18 e^{- 3 x}) - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.5.2

$18$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 54 e^{- 3 x} - 3 (81 e^{- 6 x})) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.5.3

$81$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{540 ((- 3 - 54 e^{- 3 x} - 243 e^{- 6 x}) e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 3 x} e^{- 3 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.7.1

지수를 더하여 $e^{- 3 x}$ 에 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.7.1.1

$e^{- 3 x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.7.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 3 x - 3 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.7.1.3

$- 3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 6 x} e^{- 3 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.7.2

지수를 더하여 $e^{- 6 x}$ 에 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.7.2.1

$e^{- 3 x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 (e^{- 3 x} e^{- 6 x})) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 3 x - 6 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.7.2.3

$- 3 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x} - 54 e^{- 6 x} - 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.8

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{540 (- 3 e^{- 3 x}) + 540 (- 54 e^{- 6 x}) + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.9.1

$- 3$ 에 $540$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 540 (- 54 e^{- 6 x}) + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.9.2

$- 54$ 에 $540$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} + 540 (- 243 e^{- 9 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.9.3

$- 243$ 에 $540$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 540 (54 e^{- 6 x} \cdot 1) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.10

$54$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 540 (54 e^{- 6 x}) + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.11

$54$ 에 $540$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 6 x} (9 e^{- 3 x}))}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.12

지수를 더하여 $e^{- 6 x}$ 에 $e^{- 3 x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.1.12.1

$e^{- 3 x}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 (e^{- 3 x} e^{- 6 x}) \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 3 x - 6 x} \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.12.3

$- 3 x$ 에서 $6 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (54 e^{- 9 x} \cdot 9)}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.13

$9$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 540 (486 e^{- 9 x})}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.1.14

$486$ 에 $540$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.2

$- 1620 e^{- 3 x} - 29160 e^{- 6 x} - 131220 e^{- 9 x} + 29160 e^{- 6 x} + 262440 e^{- 9 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.2.1

$- 29160 e^{- 6 x}$ 를 $29160 e^{- 6 x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 0 - 131220 e^{- 9 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.2.2

$- 1620 e^{- 3 x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} - 131220 e^{- 9 x} + 262440 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.3.3

$- 131220 e^{- 9 x}$ 를 $262440 e^{- 9 x}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 1620 e^{- 3 x} + 131220 e^{- 9 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{4}}$

단계 2.15.4

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = \frac{131220 e^{- 9 x} - 1620 e^{- 3 x}}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

단계 2.15.5

$131220 e^{- 9 x} - 1620 e^{- 3 x}$ 에서 $1620$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.5.1

$131220 e^{- 9 x}$ 에서 $1620$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x}) - 1620 e^{- 3 x}}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

단계 2.15.5.2

$- 1620 e^{- 3 x}$ 에서 $1620$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x}) + 1620 (- e^{- 3 x})}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

단계 2.15.5.3

$1620 (81 e^{- 9 x}) + 1620 (- e^{- 3 x})$ 에서 $1620$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{1620 (81 e^{- 9 x} - e^{- 3 x})}{{(9 e^{- 3 x} + 1)}^{4}}$

단계 3

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

단계 4

1차 도함수를 $0$ 으로 만드는 $x$ 값이 존재하지 않으므로 극값이 존재하지 않습니다.

극값 없음

단계 5

극값 없음

단계 6