대수 예제

$x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 12 x - 12 = 0$

단계 1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 1.1

항을 다시 묶습니다.

$- 4 x^{3} + 12 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

단계 1.2

$- 4 x^{3} + 12 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1

$- 4 x^{3}$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x \cdot x^{2} + 12 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

단계 1.2.2

$12 x$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 3 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

단계 1.2.3

$- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 3)$ 에서 $- 4 x$ 를 인수분해합니다.

$- 4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

단계 1.3

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

단계 1.4

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$- 4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + u - 12 = 0$

단계 1.5

AC 방법을 이용하여 $u^{2} + u - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.5.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 3, 4$

단계 1.5.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 4) = 0$

단계 1.6

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- 4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

단계 1.7

$- 4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ 에서 $x^{2} - 3$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.7.1

$- 4 x (x^{2} - 3)$ 에서 $x^{2} - 3$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (- 4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

단계 1.7.2

$(x^{2} - 3) (- 4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ 에서 $x^{2} - 3$ 를 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) (- 4 x + x^{2} + 4) = 0$

단계 1.8

$u = x$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 3) (- 4 u + u^{2} + 4) = 0$

단계 1.9

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.9.1

항을 다시 배열합니다.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

단계 1.9.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

단계 1.9.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

단계 1.9.4

다항식을 다시 씁니다.

$(x^{2} - 3) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

단계 1.9.5

$a = u$ 이고 $b = 2$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$(x^{2} - 3) {(u - 2)}^{2} = 0$

단계 1.10

$u$ 를 모두 $x$ 로 바꿉니다.

$(x^{2} - 3) {(x - 2)}^{2} = 0$

단계 2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} - 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 3

$x^{2} - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.1

$x^{2} - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 3 = 0$

단계 3.2

$x^{2} - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x^{2} = 3$

단계 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

단계 3.2.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 3.2.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{3}$

단계 3.2.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{3}$

단계 3.2.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

단계 4

${(x - 2)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

${(x - 2)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 4.2

${(x - 2)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 5

$(x^{2} - 3) {(x - 2)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 2$

소수 형태:

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2$

단계 7