대수 예제

$\ln (x^{3} \sin^{2} (x))$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3} \sin^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3} \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3} \sin^{2} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [x^{3} \sin^{2} (x)]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin^{2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (x^{3} (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.2

$2$ 와 $\frac{x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin (x) \cos (x)) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.3

$\sin (x)$ 와 $\frac{2 x^{3}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)} \cos (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.4

$\frac{\sin (x) (2 x^{3})}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.5

$\sin (x)$ 및 $\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.5.1

$\sin (x) (2 x^{3}) \cos (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{x^{3} \sin^{2} (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.5.2.1

$x^{3} \sin^{2} (x)$ 에서 $\sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sin (x) ((2 x^{3}) \cos (x))}{\sin (x) (x^{3} \sin (x))} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(2 x^{3}) \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.6

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{3} \cos (x)}{x^{3} \sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(2) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.7

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $2 \cot (x)$ 로 변환합니다.

$2 \cot (x) + \frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)} (\sin^{2} (x) (3 x^{2}))$

단계 6.2.8

$\sin^{2} (x)$ 와 $\frac{1}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$2 \cot (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} (3 x^{2})$

단계 6.2.9

$3$ 와 $\frac{\sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)} x^{2}$

단계 6.2.10

$\frac{3 \sin^{2} (x)}{x^{3} \sin^{2} (x)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

단계 6.2.11

$\sin^{2} (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.11.1

공약수로 약분합니다.

$2 \cot (x) + \frac{3 \sin^{2} (x) x^{2}}{x^{3} \sin^{2} (x)}$

단계 6.2.11.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \cot (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

단계 6.2.12

$x^{2}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.12.1

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

단계 6.2.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.12.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

단계 6.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \cot (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

단계 6.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 \cot (x) + \frac{3}{x}$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{x} + 2 \cot (x)$